Адольф Френкель - Жизнь Георга Кантора

В таком развитии чувствуется влияние Дедекинда, невольное и, возможно, не осознанное обоими. Но и в этой поздней работе заметно сохраняется дистанция, отделяющая ее от построений Дедекинда и Фреге, как в отношении самого понятия множества, так и в способе последовательного восхождения, отправляющегося от конечных множеств, и в (неоправданном по существу) ограничении вторым числовым классом.

В особенности следует отметить начало статьи [17]. Здесь приводится известное определение множества, заметно отличающееся от предыдущих (ср. также часть 1 работы «К учению о трансфинитном»), а затем вводится понятие мощности в смысле только что указанной работы − как общего понятия, возникающего из множества при двойной абстракции, от природы элементов и от порядка их задания; таким образом, понятие мощности уже не определяется через эквивалентность, как в [13]. За надлежащим образом видоизмененными определениями упорядочения по величине и мощностей следует отчетливое замечание, что «сравнимость» не самоочевидна и не может быть доказана в этом месте построения; автор обещает доказать теорему о сравнимости в дальнейшем и указывает, что «теорема эквивалентности» будет вытекать из нее как следствие.

В 1897 году завершается публикация работ 52-летнего в то время исследователя. Тогда же начинается все возрастающее признание его труда математическим миром.

Прекращение научной продукции вовсе не означает, что он перестал интенсивно заниматься теорией множеств. Применениям в теории функций действительного переменного он уделял мало внимания, более ожидая вторжения методов теории множеств в классический анализ и в теорию чисел. В центре же его интересов по-прежнему находилась проблема континуума . Об его усилиях в этом направлении, кроме волнующего эпизода в 1904 г., говорит также переписка с Дедекиндон летом 1899 г. Эти последние дошедшие до нас обрывки переписки, отделенные от предыдущих почти двадцатилетним промежутком, начинаются с утверждения Кантора, что с 1897 г. он располагает доказательством теоремы, в силу которой все мощности суть алефы . Дело заключалось в следующем.

Не позже 1895 г., т. е. за два года до публикации Бурали-Форти, Кантор сам столкнулся с так называемым парадоксом Бурали-Форти, касающимся множества всех порядковых чисел, и в 1896 г. сообщил о нем Гильберту [23] В письме Юнгу от 9 марта 1907 г. Кантор резко нападает на известные статьи Бурали-Форти в Rendiconti Palermo, заявляя, что тот даже не усвоил понятия вполне упорядоченного множества (см. Mathem. Gazette, №14, 101, 1929) . Далее, в 1899 г. он пишет Дедекинду также о других противоречивых системах, например, о совокупности всех мощностей или всего мыслимого, и называет их «неконсистентными» (или «абсолютно бесконечными») системами. В противоположность этому, система может рассматриваться как множество, «если совокупность элементов некоторого разнообразия непротиворечивым образом мыслима как совместно существующая» [24] Вскоре затем Кантор уточняет употребление слова «разнообразие» в этой связи, разъясняя, что он имеет в виду «разнообразия не связанных вещей, т. е. такие разнообразия, что удаление из них произвольного элемента или многих элементов никак не влияет на существование остальных». (Отметим, как близко Кантор подошел здесь к запрещению так называемых непредикативных определений, тем самым неосознанно подвергая критике также понятие степени множества, основное для его построения теории множеств) . Парадокс, возникающий из множества всех порядковых чисел, по мнению Кантора как раз и означает, что существуют «некоторые разнообразия, не мыслимые также в виде однообразия». Опираясь на эти не особенно ясные понятия, он утверждает далее, что эквивалентные разнообразия одновременно являются множествами или неконсистентны, и что подразнообразие множества есть снова множество. Дальше он рассуждает следующим образом. Пусть W − система всех порядковых чисел, V − разнообразие, не имеющее в качестве мощности никакого алефа; тогда легко видеть, что «вся система W проектируется в разнообразие V » т. е. V должно содержать подразнообразие, эквивалентное W ; и если, таким образом, V вообще имеет определенную мощность, то она должна быть алефом. Как мало это «доказательство» удовлетворяло его самого, видно из того, что он вскоре обратился с просьбой к Дедекинду дать с помощью его теории цепей «прямое» доказательство сравнимости. Таким образом, с 1884 года до смерти Кантора нерешенная проблема континуума упорно его беспокоила, временами вызывая у него даже сомнение, состоятельна ли теория множеств как научное построение в ее нынешнем виде.

В перегоняющих друг друга письмах, относящихся к периоду успешной деятельности Кантора (1899 г.), содержатся и другие вещи, заслуживающие упоминания.

Так, 29 августа Дедекинд сообщает другу доказательство эквивалентности с помощью своей теории цепей, на возможность которого он уже весной 1897 г. указывал Ф. Берштейну [25] Доказательство Шредера (содержавшее пробел) было доложено осенью 1896 г. на Франкфуртском собрании естествоиспытателей; доказательство Бернштейна, найденное им зимой 1896/97 г., было доложено в 1897 г. на семинаре Кантора. Доказательство Дедекинда (не опубликованное) по существу совпадает с более поздним доказательством Цермело (Math. Ann., 65, 271, 1908) . Далее, Кантор формулирует известную альтернативу относительно возможных отношений эквивалентности между двумя множествами M и N : каждое из них либо эквивалентно некоторому подмножеству другого, либо не эквивалентно никакому из них; таким образом, имеется четыре мыслимых комбинации (одна из которых, соответствующая «несравнимости», была позже исключена в силу теоремы о полной упорядоченности). Этот метод, сейчас для нас почти самоочевидный, до тех пор не встречался в работах Кантора; по рассказу Шенфлиса [26] Jahresber. d. D. Mathematikervereinigung, 101 и далее, 1922 , письмо, в котором Кантор сообщил его в Геттинген, было там воспринято как откровение и переходило из рук в руки. Наконец, в тех же письмах Кантора утверждения о существовании множеств (т. е. консистентных разнообразий) с кардинальными числами объявляются аксиомами элементарной, соответственно, расширенной арифметики; это вполне соответствует духу впоследствии построенной Расселом теории “individuals” («индивидуумов»).

В том же 1897 г., когда вышла последняя работа Кантора, в Цюрихе состоялся первый «Международный математический конгресс». Он встретил на конгрессе единодушное признание; наряду с секционным сообщением Адамара, использовавшего понятия теории множеств как уже известные и необходимые орудия, доклад Гурвица на первом пленарном заседании «О развитии общей теории аналитических функций в новейшее время» особенно ярко продемонстрировал, насколько плодотворными оказались для теории функций идеи Кантора и среди них столь оспаривавшиеся трансфинитные числа. Надо отметить, что три уже тогда ведущих исследователя, Гильберт, Гурвиц и Минковский, состоявшие между собой в дружбе, первые в странах немецкого языка поняли и пытались разъяснить оригинальность идей Кантора и значение его теории множеств; было это еще «в то время, когда в задававших тогда тон математических кругах самое имя Кантора было под запретом, а в его трансфинитных числах видели всего лишь вредные порождения фантазии» [27] Ср. речь Гильберта, посвященную памяти Минковского (Göttinger Nachrichten, 1909; Собрание сочинений Минковского, т.1), где цитируется также меткое замечание из доклада Минковского об актуально-бесконечном в природе. В обоих докладах упоминается оппозиция Кронеккера по отношению к идеям Кантора . Не только значение этих ученых, но также их особая связь со строгими методами теории чисел способствовали разрушению многих предубеждений против теоретико-множественных построений.