Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе

Правило выборов по очкам . Каждый избиратель указывает для всех кандидатов целые неотрицательные числа – баллы, выражающие его предпочтения. Если все указанные баллы равны нулю, его бюллетень считается недействительным. В противном случае все положительные баллы нормируются, то есть каждый балл делится на сумму вех баллов, после чего сумма всех "нормированных" баллов становится равной единице. Дальше работают с этими нормированными баллами. Нормировка исключает случайные "масштабные" предпочтения избирателя, так как важны лишь отношения его предпочтений. Иногда с самого начала разрешают применять в виде баллов только определенные числа, например, целые числа от одного до пяти. Затем для каждого кандидата суммируются баллы, полученные им от всех избирателей, и в парламент проходят набравшие наибольшее число баллов. В этой процедуре тоже должно быть правило, что делать в случае совпадения баллов. Выборы по очкам иногда применяются на спортивных соревнованиях.

Дальше мы укажем более сложные процедуры принятия решений, которые могут иметь практическое значение. Ясно, что от принятых правил зависит определение "представительного правления", то есть принятый тип "демократии". Можно задать эти правила и таким образом, что лишь небольшая часть избирателей сможет влиять на результаты выборов – что и происходит сейчас в России. Возникает вопрос, какие избирательные правила надо все еще считать "демократическими". Формально в "репертуар" избирательных процедур входит и следующая, отнюдь не нарочно придуманная, а самая известная в России:

"Правило диктатора" . Указывается один избиратель, именуемый "первым". Он определяет порядок кандидатов в списке и, тем самым, состав парламента. Остальные избиратели не имеют никаких обязанностей. Название этого правила принадлежит американскому экономисту Эрроу, с именем которого мы еще встретимся.

Конечно, такое правило выборов противоречит нашему интуитивному представлению о "народовластии". Попытаемся теперь сформулировать некоторые общие требования, необходимые (как можно полагать) для того, чтобы избирательную систему можно было считать "демократической". По аналогии с математической терминологией, мы назовем эти требования аксиомами.

1. Аксиома полноты. Для любых двух кандидатов a, b правило голосования должно приводить к одному из трех результатов: либо a предшествует b (в установленном этим правилом порядке), либо b предшествует a, либо a и b занимают одинаковое место.

Смысл этой аксиомы в том, что правило голосования всегда применимо и для любых двух кандидатов всегда дает ответ, хотя может случиться, что они не получают предпочтения друг перед другом. В таком случае правило недостаточно (как это уже было в предыдущих примерах); но ведь мы формулируем теперь только необходимые требования к избирательным процедурам.

2. Аксиома транзитивности . Если по правилу голосования кандидат a предшествует кандидату b, а b предшествует c, то а предшествует с.

"Транзитивность" означает "возможность перехода". Ясно, что всякое разумное правило упорядочения должно удовлетворять предыдущему требованию, необходимому во всякой ранговой структуре.

3. Аксиома единогласия. Если по правилу голосования оказывается, что каждый избиратель предпочитает кандидата a кандидату b, то по этому правилу а предшествует b.

Иначе говоря, единогласная воля избирателей должна уважаться.

4. Аксиома независимости . Относительный порядок любых двух кандидатов а и b, определяемый правилом голосования, зависит только от индивидуальных предпочтений избирателей, но не от порядкового положения какого-либо третьего кандидата с. Это значит, что "превосходство" а над b, устанавливаемое по этому правилу, не зависит от их возможных связей с кем-нибудь другим. Таким образом, суждение избирателей, резюмируемое правилом голосования, относится к конкретным кандидатам, известным избирателям, а не, например, к их партийной принадлежности или личным связям. Эта аксиома, по-видимому, описывает уже достаточно зрелую и сознательную демократию.

Оказывается, что все эти аксиомы вместе предъявляют уже слишком много требований к человеческому роду! А именно, К. Эрроу доказал следующую теорему:

Единственное правило голосования, удовлетворяющее всем аксиомам 1 – 4, есть "правило диктатора".

Очевидно, что это правило в самом деле удовлетворяет аксиомам 1 – 3: диктатор устанавливает очередность, как хочет, и не приходит при этом в противоречие с этими аксиомами, если только не запутается в нумерации. Что касается аксиомы 4, то в этом случае индивидуальные предпочтения избирателей сводятся к предпочтениям диктатора, и больше ни от чего не зависят – ведь он единственный избиратель. Эрроу доказал, что никакое другое избирательное правило не удовлетворяет формулированным выше аксиомам. [Несложное доказательство этой теоремы, с рядом примеров, можно прочесть в статье В.Пахомова (журнал "Квант", NN 9 – 10 за 1992 год)].

Можно истолковать этот вывод таким образом, что совершенная демократия невозможна – ведь и все человеческие учреждения в той или иной мере несовершенны, и не следует предъявлять к ним слишком общие и абстрактные требования. Поскольку полная независимость суждений (аксиома 4) явно недостижима, всегда будут группы людей, связанные общими взглядами, и суждение человека будет в некоторой степени зависеть от группы, к которой он принадлежит, – по рождению, воспитанию или его собственному выбору. Но, конечно, такие группы не обязательно будут похожи на нынешние политические партии.

Выборы представляют собой случайное событие, которое может быть описано с помощью теории вероятностей. Начнем с простейшего случая, когда выбирают президента из двух кандидатов, A и B. Каждый избиратель может проголосовать за A или против A (либо высказавшись за его противника B, либо не явившись на выборы, что мы будем также толковать как голосование "против A"). Можно ли говорить о вероятности того, что взятый наугад (то есть выбранный по жребию) избиратель проголосует за A? Мы примем частотное определение вероятности: будем говорить, что голосование за A имеет вероятность p, если в достаточно длинной серии повторений этого голосования отношение числа положительных голосований M к числу всех голосований в серии N приблизительно равно p, причем приближение тем лучше, чем больше длина серии N. Конечно, при этом случайный избиратель каждый раз выбирается заново, посредством нового жребия. Если испытания такого рода дают устойчивое значение частоты p = M/N, то можно допустить, что вероятность голосования за кандидата A существует и равна p. Разумеется, при этом надо заботиться, чтобы выбранная группа из N человек (входящих в серию) была действительно случайна – иначе законы теории вероятностей неприменимы. Например, в этой группе – именуемой статистической выборкой – должно быть примерно одинаковое число мужчин и женщин, как и во всей популяции; в группе не должна преобладать какая-нибудь профессия, какой-нибудь уровень образования, и т.д. В общем, правильная статистическая выборка должна быть возможно более точной моделью популяции. Нахождение таких выборок – особое искусство, которому учатся статистики, а правильность выборки можно проверить методами теории вероятностей.