Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе

Теория вероятностей позволяет также вычислить, насколько велика должна быть выборка из N человек, чтобы полученная из нее частота M/N достаточно мало отличалась от искомой вероятности p. Предположим, что вероятность голосования за A в самом деле известна: например, пусть выборы уже прошли, так что можно принять за p долю всех избирателей, проголосовавших за A. Посмотрим, что можно сказать о возможных результатах выборов по выборке из N избирателей. Число M членов этой выборки, высказавшихся за кандидата A, может быть от 0 до N, и для каждого значения M существует вероятность того, что ровно M человек выскажется за A; обозначим эту вероятность через p(M). Если известна вероятность голосования за кандидата A (равная p), то вероятность M положительных ответов при нашей выборке из N человек, как можно показать, равна

где – так называемые биномиальные коэффициенты, равные

здесь N! – произведение всех целых чисел от 1 до N, именуемое факториалом числа N, и аналогично M! = 1 x 2 x 3 x ... x M, (N-M)! = 1 x 2 x 2 x...x(N-M) . Например, если в группе 50 человек (N = 50), то при p = 2/3 вероятность того, что за A выскажутся 30 человек, равна

Доказательство формулы для p(M) мы не приводим: его можно найти в любом учебнике теории вероятностей. Заметим, что прямое вычисление биномиальных коэффициентов при больших значениях M и N довольно трудно и обычно заменяется методами высшей математики. Но нас интересует здесь только общий характер зависимости p(M). Эта зависимость изображена на рисунке 1, для случая N = 50, p = 2/3. Вдоль оси абсцисс отмечены точки M = 0, 1, 2,..., 49, 50, а значение изображенной функции – очень точно приближающей p(M) – равно ординате графика с абсциссой M.

Рис.1

Колоколообразная кривая рисунка 1 называется гауссовой кривой и имеет важное значение в естествознании и статистике. Наибольшее значение p(M) – около 0,12 – получается при M = 33, то есть при ближайшем целом к 2/3 x N; это значит, что вероятнее всего исход опроса, при котором за A выскажется pN членов выборочной группы. Из рисунка 1 видно, что, например, при M<25 общая вероятность того, что за A выскажется не больше половины группы, равная

p(0) + p(1) + p(2) + ... + p(25),

оказывается ничтожно малой. Точный расчет показывает, что эта сумма меньше 0,005, т.е. вероятность такого результата меньше 0,5%.

Таковы должны быть вероятности p(M), если в самом деле вероятность p = 2/3, то есть если 2/3 всех избирателей в самом деле проголосовали за кандидата A. Но, предположим, в результате опроса членов выборки из 50 человек обнаружилось, что среди них числа сторонников и противников A примерно равны: пусть, например, оказалось, что M = 24. Вероятность такого результата в предположении, что p = 2/3, ничтожно мала – меньше 0,5%. Этот результат опроса 50 человек даст основание поставить под сомнение опубликованные данные выборов, по которым A избран большинством в 2/3 голосов.

Конечно, если в результате выборов голоса "за" и "против" разделились почти поровну, то обнаружить неправильность выборов было бы не так легко. В этом случае гауссова кривая имела бы максимум вблизи точки 25, и значение M = 24 попало бы в область, где p(M) достаточно велико, так что противоречие с утверждением избирательной комиссии не получилось бы. Дальше мы покажем, что делать в таких случаях, довольно частых в политической практике. Если вероятное отклонение от истинного значения из-за подделки в ходе голосования составляет значительно бо'льшую величину, чем вероятное отклонение из-за малой величины выборки, то данным математического контроля можно доверять больше, чем официальным данным, даже если выборка состоит всего из нескольких десятков человек. Такой контроль нетрудно устроить, и он обходится недорого.

В России в специальных работах оценивалась доля подделанных бюллетеней: она нередко составляла проценты, и даже десятки процентов от числа поданных бюллетеней. Характерным примером было голосование по принятию Конституции 1993 года, когда в официальных данных была на несколько процентов завышена явка избирателей. Хотя в действительности явное большинство высказавшихся по этому поводу избирателей было "за" новую Конституцию – то есть хотя и нет содержательных оснований считать, что народ отверг эту Конституцию – согласно ранее принятому решению требовалось, чтобы на референдум по Конституции явилось не менее пятидесяти процентов избирателей; между тем, в действительности явилось около сорока девяти процентов. По закону следует считать, что референдум о Конституции не состоялся, и что мы, следовательно, живем по Конституции , не принятой в установленном законом порядке. Закон должен выполняться точно и формально, без всяких "полезных" для власти толкований, потому что привычка к таким толкованиям – и тем самым поощрение фальсификаций – возвратит нас ко временам произвола.

Указанная оценка явки избирателей была выполнена специальной аналитической группой при президенте России. Сотрудников этой группы можно отнести к числу сторонников новой Конституции, но они не были склонны к незаконным методам. После опубликования указанной экспертной оценки в мае 1994 года (в газете "Известия", тоже симпатизирующей нынешней Конституции) эта специальная группа была тут же расформирована – именно за эту оценку! Отсюда видно, что у ответственных за такое решение людей не было понимания примененных методов оценки, в данном случае общепринятых в международной практике. (Конечно, мы не утверждаем, что не было желания исправить очевидную подделку!).

В международной практике формируется традиция проверки хода голосования на выборках объемом в 2% от числа активных (участвовавших в выборах) избирателей. Такая процедура весьма надежна, поскольку выборка достаточно велика для практически всех реальных ситуаций (причем степень ее достоверности полностью контролируется математическими средствами). Затраты на такую выборку весьма малы, поэтому в наши дни трудно относиться с доверием к выборам, на которых не предоставляются возможности независимого подсчета голосов, или же результаты таких проверок не принимаются всерьез. Конечно, при существующих – и постоянно применяемых – методах выборочного контроля грубая подделка результатов голосования представляет печальную особенность самых отсталых стран. В других странах есть много способов манипулировать мнениями избирателей, но объектами манипуляций являются они сами, а не их бюллетени.

Метод статистической выборки можно применять не только для контроля правильности выборов, но и с другими целями. Одна из них – это предсказание результатов выборов. Для этого, опять-таки, находят "правильную" (или, как говорят статистики, "представительную") выборку избирателей и опрашивают их до выборов, за кого они намерены голосовать. Можно предполагать, что и в этом случае опрашиваемые будут говорить правду, хотя нельзя исключить и "застенчивость" тех, у кого непопулярные взгляды. Существует искусство опроса, также требующее специального опыта и имеющее свои правила. (Когда в Москве провели опрос общественного мнения об отношении к смертной казни, то выбрали наудачу фамилии из телефонной книги и "обзванивали" выбранных людей. При этом не только было нарушено правило представительности выборки – поскольку и в Москве телефоны есть у меньшинства населения – но, сверх того, самая форма опроса исключала серьезное отношение к предмету). Теория вероятностей говорит, что при любой форме выборов (не только при выборах президента, когда, как мы допустили для простоты, всего два кандидата) достаточно большая, правильная статистическая выборка дает очень точное предсказание результатов будущих выборов. Выборочные предсказания делаются специальными "Институтами общественного мнения", и точность их, естественно, возрастает по мере приближения выборов, так как настроение избирателей меняется. В некоторых странах введены даже законодательные ограничения публикации таких предсказаний, особенно в период перед выборами, так как опасаются, что они деформируют поведение избирателей (например, у сторонников предположительно проигрывающего кандидата пропадает охота идти на выборы). Конечно, опросы общественного мнения также предотвращают фальсификацию результатов голосования: никто не поверит официальным данным, если они резко отличаются от того, что предсказали в согласии между собой опубликованные разными институтами выборочные данные. [Существуют и другие способы предсказания, основанные на более специфических для данного электората интересах и вкусах. Например, в Соединенных Штатах можно очень достоверно предсказать , будет ли переизбран нынешний президент, исходя из определенных экономических показателей за последний год его деятельности – откуда видно, что американцы давно уже считают государственную власть ответственной за свое хозяйственное положение. Но метод статистической выборки универсален – он применим во всех случаях].