Марат Телемтаев - Целостный метод – теория и практика

Модель основной системной структуры C a имеет вид:

C a= < { A 0, Δ e}, W, Φ c>.

Модель дополнительной системной структуры С e имеет вид:

С e= < {Δ a, E 0}, W, Φ c>.

• Исходя из (4.4.4), где доказано, что система – это объединение процесса и структуры, определим основную и дополнительную системы.

Модель основной системы S a имеет вид:

S a= <{P a, C a}, W, Φ>; S a= <{A 0, B 0, Δ d, Δ e}, W,Φ>

Модель дополнительной системы S e имеет вид:

S e= <{P e, C e}, W, Φ>; S e= <{Δ a, Δ в, D 0, E 0}, W, Φ>

Другими словами, полная система S — это объединение полного системного процесса Р и полной системной структуры С, основная система S a— это объединение системного процесса достижения цели P a и структуры для его реализации С a, а дополнительная система S e— это объединение системного процесса взаимодействия P e и структуры для его реализации C e.

На основании этого можно получить следующие модели:

C = < {A 0, Δ a, E 0,Δ e,}, W, Φ c>,

P = < {В 0, Δ в, D 0, Δ d}, W, Φ р>.

В полученных математических моделях разделены полные, основные и дополнительные системные объекты: системы, процессы, структуры, элементы и элементарные процессы.

• Элементарная система, элементарная структура и элементарный процесс. Элементы а, е представляют собой, по сути, элементарные структуры, а в сочетании с элементарными процессами они образуют элементарные системы – элементарные целенаправленные системы s a и элементарные системы взаимодействия s e:

s a= < {а, b }, ⋃, α, α 0>; s a= < a ⋃ b, α, α 0>;

s e= < { e, d }, ⋃, β, β 0>; s e= < e ⋃ d, β, β 0>.

Каждая i-ая система s ai образует с некоторой системой s eij элементарную полную систему s ij , реализующую элементарную часть системного процесса достижения цели (т.е. реализующую преобразование предмета труда, начиная от момента поступления его на вход элемента а i и кончая моментом поступления его на вход элемента a j):

s ij=s ai⋃ s eij; s ij= <{a i, b i, e ij, d ij}, w i, w ij, ф i, ф ij>,

где wi, w ij, ф i, ф ij определяют операции и отношения на множестве-носителе системы s ij, напр., операции ⋃, ⋂ и отношения α, β и др. Число систем s ij равно числу элементов a j, со входами которых соединен выход элемента a i.

Цель f ij, реализуемая системой s ij , будет состоять из двух компонентов: цели f i, описывающей изменение параметров перерабатываемого ресурса в целенаправленной части s ai системы s ij и изменения Δ ijfi происходящего во взаимодействующей части s eij при транспортировании или складировании предмета труда до момента поступления на вход a j :

f ij= { f i, Δ ijf i}

Очевидно, что система s ij имеет общую часть s ai с каждой системой s ik.

Теорема 4.4.7. Система s ijразложима на cистемы: основную целенаправленную s aijи дополнительную s eij:

s ij= s aij⋃ s eij;

s aij= < { a i0, b i0, δ еij, δ aij}, w j, w y, ф i, ф ij>;

s eij= < {δ ai, δ вi, d ij0, e ij0}, w j, w y, ф i, ф ij>.

Справедливость (4.4.16) очевидна из предыдущего изложения.

Теорема 4.4.8. Модели полной, основной и дополнительной систем S, S a, S епредставляют собой теоретико-множественные объединения элементарных систем s ij, s аij, s еij :

S = < ⋃ s ij, W, Φ >;

S a= <���⋃ s аij, W, Φ >;

S e= <���⋃ s еij, W, Φ>.

• В результате теоретико-множественного объединения s ij, s аij, s еij сформируются множества-носители систем S, S a, S e и, кроме того, объединение множества операций и отношений W' и Φ', определенных на элементарных системах:

S = < { А, В, D, Е }, W', Φ', W0, Φ0 >,

S a= < { A 0, B 0, Δ d, Δ e}, W', Φ', W0, Φ0 >,

S e= < {Δ a, Δ в, D 0,E 0}, W', Φ', W0, Φ0 >.

Множества операций W0 и предикатов Φ0 формируются в процессе создания систем S, S a, S e из элементарных систем: вводится отношение порядка ≤, определяется набор предикатов и соответствующие отношения на множестве-носителе, отвечающие выбранным предикатам и т.д. В результате формируются множества W и Φ систем S, S а, S e: W=W' ⋃ W0 , Φ = Φ' ⋃ Φ0 и модели S , S а, S e приводятся к виду (4.4.1).

• Изоморфизм и декомпозиция моделей. Изоморфизмом системы S на системы S а, S e и др. будет взаимнооднозначное отображение множества-носителя системы S на множества-носители систем S а, S e и др., сохраняющее главные операции и предикаты модели (4.4.1).

Изоморфизм рассмотрим на графовых моделях систем, процессов, структур. Два графа G 1= G 1(V 1, H 1) и G 2= G 2(V 2, H 2) считаются изоморфными, если существует взаимооднозначное отображение такое, что V 1 взаимнооднозначно отображается на V 2 и H 1 взаимнооднозначно отображается на H 2 , т.е. каждой вершине из V 1 соответствует одна и только одна вершина из V 2 и наоборот, а каждому ребру из H 1 соответствует одно и только одно ребро из H 2 и наоборот, каждому ребру из Н 2 соответствует одно и только одно ребро из Н 1 .

Графы процессов и структур определим следующим образом:

G (P) = G (B,D), G(P a)=G(B 0, ∆ d), G(P e)= G(∆ в, D 0),

G( C) = G (A, E), G(Ca) = G (A 0, ∆ e), G (C e)=G(∆ a, E 0).

Сформулируем следующий результат.

Теорема 4.4.9. Графы G(Р), G(С), G(P a), G(P e), G(C a), G(C e) изоморфны.

Доказательство его следует из очевидного здесь факта: изоморфны между собой множества в каждой тройке множеств: В, В 0, ∆ в; A, A о, ∆ a; D, D 0, ∆ d; E, E 0, ∆ e.

Графы систем определим следующим образом, как прямые суммы:

G (S) = G (P) ⋃ G ( C);

G (S a) = G(P a) ⋃ G (C a);

G(S e) = G(P e) ⋃ G(C e).

Теорема 4.4.10 . Графы G(S), G(S a), G(S e) изоморфны.

Эти графы изоморфны, так как в соответствии с предыдущим результатом изоморфны их части, не пересекающиеся по вершинам и ребрам.

Графы процесса и структуры также могут быть представлены в виде прямых сумм частей, не пересекающихся по вершинам и ребрам:

G (P) = G(P a) ⋃ G (P e); G(C) = G (C a) ⋃ G(C e ).

В силу этого можно сформулировать

Теорема 4.4.11 . Графы G (S), G(S a), G(S e), G(P), G(C) изоморфны.

• Полученные результаты позволяют сформировать следующую процедуру декомпозиции при исследовании систем. Вполне очевидно, что переход от графа G (S) к графу G(S a) или G(S e) означает переход от более сложных задач к более простым. В то же время модель любого системного объекта, в том числе S a и S e , можно представить в виде модели полной системы и вновь разложить его на модели G(S a), G(S e) и др. Новая декомпозиция будет означать дальнейшее упрощение задач исследования системы. В то же время при повторной декомпозиции модели, как и при первой., вновь будут определены отношения взаимосвязи между частями модели. Сохраняя отношения взаимосвязи на каждом этапе, можно перейти к системе с более простыми задачами исследования – к «простой» системе, задачи которой разрешимы для исследователя. Затем можно, используя отношения взаимосвязи, перейти к решению задач исходной системы, как к некоторой композиции задач «простых» систем. Возможно, что «простая» система – это система, в которой нецелесообразно выделение дополнительной системы.