Коллектив авторов - Новые идеи в философии. Сборник номер 5

Итак, мы видим, что анализ методологической структуры математического принципа бесконечного приводит нас обратно к его логическому источнику: к принципу изначала. Да иначе и быть не может. Если логика чистого познания избрала своим лозунгом ориентирование на точной науке, то это относится прежде всего к математике. И потому именно математическое понятие бесконечного послужило образцом для логической формулировки принципа изначала.

Эти общие выводы, вытекающие из анализа понятия бесконечного, не изменятся по существу, а получат еще новое подтверждение, если мы рассмотрим знание с другой точки зрения, которая обыкновенно считается исключительною принадлежностью так называемой формальной логики: с точки зрения практикуемого математикой образования понятий. И в этом вопросе расходятся взгляды античности и нового времени. Согласно традиционному учению логики, восходящему к Аристотелю, общие понятия, которыми оперирует наука, представляют результат сравнения сходных между собой предметов, выделения общих им признаков и отвлечения от их индивидуальных различий. Эта абстракционная теория в самом корне эмпиристична. Она предполагает существование внешних объектов как самодовлеющую данность, и ставит логический акт образования понятий в безусловную зависимость от их воздействия на познающего субъекта. К математике как к чисто конструктивной науке, не опирающейся в своих построениях на непосредственные данные опыта, абстракцционная теория применима только с большой натяжкой. В области арифметики, например, она способна объяснить разве только возникновение понятия целых рациональных конечных чисел. Уже при объяснении отрицательных и дробных чисел она наталкивается на непреодолимые затруднения. Но с полною очевидностью обнаруживается ее логическое бессилие при сопоставлении с такими математическими понятиями, какими по преимуществу орудует современная математика. Ведь в эмпирической действительности нельзя указать ничего такого, что было бы адекватно или представляло хотя бы малейшее сходство с мнимыми и иррациональными числами, дифференциалом или интегралом и т. д. Тем не менее, вплоть до последнего времени эмпиристические предубеждения настолько прочно держались в научном мышлении, что и математики и логики отказывались признавать за этими новыми разновидностями понятия числа такое же объективное значение, такой же реальный смысл, как за целыми рациональными числами, и рассматривали их, как чисто условные символы, которые, правда, пригодны для математических операций, но которые при переводе математических формул на язык действительности утрачивают всякую значимость.

Однако при такой концепции числа остается совершенно непонятным и загадочным, почему реальный смысл математических символов внезапно испаряется, как только мы переступаем границу конечных рациональных чисел, тогда как переходы от одной группы чисел к другим совершаются по имманентным им законам, без всяких скачков, с нигде не нарушаемою непрерывностью. Непонятно также, каким образом эти математические символы, лишенные реального смысла, могут служить точным выражением таких объективных явлений, какие представляют собою пространство, движение в пространстве и т. п. Все эти по существу неразрешимые недоумения возникают, конечно, только в том случае, если исходить из эмпиристического взгляда абстракционной теории, по которому все вообще математические операции в конечном итоге сводятся к счету данных мышлению извне предметов.

Но теория эта, помимо указанного недостатка, страдает еще другим существенным пороком: она предполагает именно то, что подлежит объяснению. В самом деле, самый акт сравнения объектов и определения их сходства оказался бы невыполнимым, если бы в его основу не была положена известная точка зрения, т. е. если бы заранее не было установлено то направление, в котором будет идти процесс сравнивания, тот распорядок, в котором будут располагаться сравниваемые объекты. Вот эта точка зрения, это направление, этот распорядок и есть то логически новое, что не «дается» мысли вместе с отдельными объектами, а осуществляется в познании лишь через посредство самопроизвольного акта самого мышления. Абстракция в процессе образования понятий – момент вторичный и логически несущественный. Ибо задача научного познания – не разобщать общие и единичные признаки объектов, а раскрывать их необходимую связь, не игнорировать индивидуальные различия конкретных явлений, а выводить их из управляющих ими общих законов. Если же ограничить логическую функцию понятия исключительно изолированием общих признаков, то это неизбежно ведет к разрушению внутреннего единства общего и единичного, и все отвлеченные понятия превращаются в подобия каких-то самостоятельных субстанций, которые, с одной стороны, совершенно оторваны от мира действительности, но, с другой стороны, именно ему обязаны всем своим, правда, крайне бедным и неопределенным, содержанием. Для объективного знания подобные субстанциализированные абстракции не могут иметь ни малейшей ценности. Да они никогда и не служили орудием точной науки, и если когда-либо вообще оказывали на нее влияние, то только в отрицательном смысле, как моменты, тормозившие ее внутреннее развитие (как об этом свидетельствуют судьбы понятия бесконечного в истории математики).

Напротив, те понятия, которые искони руководили эволюцией науки и которым она обязана своей объективной достоверностью, обладают совершенно иной логической структурой. Структура эта, однако, долго оставалась незамеченной и только методологии современной математики удалось вполне выяснить ее специфические особенности.

Выше мы уже указывали на то, в чем современная математика усматривает основную характеристику понятия числа: не в том, что оно является якобы символом отвлеченных от предметов опыта свойств, а в той внутренней закономерности, которая ему свойственна как самостоятельному образованно научного мышления. Она не интересуется количественным значением отдельных чисел, а рассматривает их, прежде всего, как частные случаи известных общих математических отношений, порождающих из себя законосообразно построенные ряды чисел. Итак, основная характеристика числа это – его принадлежность к ряду однородных чисел. Его количественное значение – с этой точки зрения – признак вторичный, относительный, ибо зависит целиком от того места, которое оно занимает в том или другом ряде чисел. Вот почему ряд как целое, как совокупность закономерно связанных между собою чисел, логически первее каждого входящего в него члена (числа), взятого в отдельности. – Каково же математическое значение этих численных рядов? Каждый из них представляет не что иное, как развитие известной математической функции, т. е. содержит в себе совокупность всех тех количественных значений, которые последовательно принимает данная функция в пределах, предначертанных управляющим ею законом. Следовательно, последнюю основу понятия числа составляет понятие математической функции, т. е. законосообразности математических отношений. Все математические, все числовые понятия – по существу функциональные понятия, понятия отношений. Доказательством тому служит вся современная математика. Признание функциональной сущности понятия не только устраняет все затруднения, которые, с абстракционной точки зрения, вызывают понятия бесконечного, иррационального и пр., но выясняет также логическую возможность и даже необходимость полной математической равноправности этих новых видов чисел с конечными рациональными числами. Ведь сущность математической функции зависит не от того или другого доступного ей количественного значения, а исключительно от качественного характера, определяющего ее количественные изменения закона.