Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

1. Теорема Фалеса

2. Платоновы тела

3. Гармония

4. Теорема Пифагора

5. Иррациональные числа

6. Установившаяся скорость падения

7. Падение капель

8. Отражение

9. Плавающие и погруженные в жидкость тела

10. Площадь круга

11. Размеры Солнца и Луны и расстояния до них

12. Размер Земли

13. Эпициклы внутренних и внешних планет

14. Параллакс Луны

15. Синусы и хорды углов

16. Горизонт

17. Геометрическое доказательство теоремы о средней скорости

18. Эллипсы

19. Элонгации и орбиты внутренних планет

20. Суточный параллакс

21. Правило равных площадей и эквант

22. Фокусное расстояние линзы

23. Телескоп

24. Лунные горы

25. Ускорение под действием силы тяжести

26. Параболические траектории

27. Вывод закона преломления света по аналогии с теннисным мячиком

28. Вывод закона преломления света на основе принципа наименьшего времени

29. Теория радуги

30. Вывод закона преломления света на основе волнового принципа

31. Измерение скорости света

32. Центростремительное ускорение

33. Сравнение Луны с падающим телом

34. Закон сохранения импульса

35. Массы планет

Теорема Фалеса – хороший пример того, как, рассуждая в понятиях геометрии, можно прийти к неочевидному выводу о свойствах окружностей и треугольников. Фалес или кто-либо другой был первым, кто доказал эту теорему, для нас она представляет интерес, так как демонстрирует, что древние греки знали о геометрии до Евклида.

Рассмотрим любую окружность. Пусть прямая пересекает ее по диаметру. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначим A и B . Выберем в любом месте окружности точку P , не совпадающую ни с A , ни с B , и соединим точки A и B с точкой P отрезками. Диаметр AB и отрезки AP и BP образуют треугольник ABP . Теорема Фалеса гласит, что такой треугольник всегда является прямоугольным, то есть его угол при вершине P всегда равен 90°.

Хитрость в доказательстве этой теоремы заключается в том, что необходимо из центра C окружности провести в точку P радиус CP . При этом треугольник ABP окажется разделен на два треугольника: ACP и BCP (см. рис. 1). Оба эти треугольника являются равнобедренными, то есть такими, у которых две стороны равны. В треугольнике ACP стороны CA и CP являются радиусами окружности и, по определению окружности, равны (будем обозначать стороны треугольника по точкам, которые они соединяют). Аналогично в треугольнике BCP равны стороны CB и CP . В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны между собой, поэтому угол α (альфа) между сторонами AP и AC равен углу между сторонами AP и CP , а угол β (бета) между сторонами BP и BC равен углу между сторонами BP и CP . Сумма углов любого треугольника равна удвоенному прямому углу [26], или, как сейчас принято говорить, 180°, поэтому если в треугольнике ACP третий угол между сторонами AC и CP обозначить α′ и точно так же обозначить β′ угол между сторонами BC и CP в треугольнике BCP , то будут верны равенства:

Сложив оба равенства и переставив слагаемые местами, получим:

Учтем, что α′ + β′ – это развернутый угол между сторонами AC и BC , то есть такой угол, лучи которого образуют отрезок прямой линии. Его величина составляет 180°, поэтому:

Следовательно, α + β = 90°. Но если посмотреть на рисунок 1, то легко увидеть, что угол α + β – это угол между сторонами AP и BP в исходном треугольнике ABP, значит, он является прямоугольным треугольником, что и требовалось доказать.

Рис. 1. Доказательство теоремы Фалеса.Теорема утверждает, что для любой взятой на окружности точки P угол между отрезками, проведенными из этой точки к концам произвольного диаметра AB , будет прямым.

В рассуждениях Платона о природе вещества центральное место занимает класс геометрических тел, известных как правильные многогранники, которые также известны как платоновы многогранники. Правильные многогранники можно рассматривать как трехмерную аналогию правильных многоугольников в планиметрии, и в определенном смысле они строятся из правильных многоугольников. Правильный многоугольник – это плоская фигура, ограниченная n одинаковыми отрезками, имеющая n вершин, причем углы, образуемые соседними сторонами при каждой вершине, равны. Например, правильными многоугольниками являются равносторонний треугольник (треугольник, все стороны которого равны) и квадрат. Правильный многогранник – это объемное тело, ограниченное одинаковыми правильными многоугольниками, причем все его вершины представляют собой равные телесные углы, стороны которых образованы N равными многоугольниками-гранями.

Самый привычный пример правильного многогранника – это куб. Куб образуют шесть одинаковых граней-квадратов, в каждой из его восьми вершин смыкаются три квадратные грани. Есть еще более простой правильный многогранник, тетраэдр: это треугольная пирамида, образованная четырьмя одинаковыми равносторонними треугольниками, у него четыре вершины, в каждой их которых смыкаются три треугольные грани. (Мы рассматриваем только выпуклые многогранники, у которых каждая вершина направлена наружу – к ним относятся и куб, и тетраэдр.) Из текста «Тимея» понятно, что Платон откуда-то знал о том, что может быть лишь пять различных видов таких правильных многогранников, и он посчитал, что атомы различных форм материи имеют форму именно этих многогранников. Пять правильных многогранников включают тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр с 4, 6, 8, 12 и 20 гранями соответственно.

Сохранившееся со времен античности свидетельство о самой ранней попытке доказать, что существует лишь пять правильных многогранников, имеется в финальной, кульминационной части «Начал» Евклида. В предложениях 13–17 книги XIII Евклид описывает геометрическое строение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра. Затем он пишет: «Вот я утверждаю, что, кроме упомянутых пяти тел, нельзя построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу <���многоугольниками>» [27] . Н а самом деле после этого утверждения Евклид доказывает более узкую теорему о том, что в правильном многограннике существует только пять возможных комбинаций количества сторон n у каждой многоугольной грани и количества N смежных в каждой вершине многоугольников. Ниже приведено доказательство, аналогичное евклидову, но с использованием современной терминологии.