Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

Тень Земли в месте расположения Луны во время лунного затмения широка настолько, что может точно вместить сферу диаметром в два раза больше Луны.

Обозначим P точку, где находится вершина конуса тени, отбрасываемой Землей. У нас получается три подобных треугольника: треугольник, образованный поперечным диаметром Солнца и линиями между его концами и точкой P; треугольник, образованный поперечным диаметром Земли и линиями между его концами и точкой P ; и треугольник, образованный двойным поперечным диаметром Луны и линиями между его концами и точкой P (см. рис. 5в). Следовательно, соотношения подобных сторон во всех этих треугольниках взаимно равны. Предположим, что точка P находится на расстоянии d 0 позади Луны. Тогда расстояние между этой точкой и Солнцем составляет d с + + d л + d 0 , а между ней же и Землей – d л + d 0 , поэтому

Выполнив несложные алгебраические преобразования, мы можем найти из второго равенства выражение для d 0 :

Подставляя его в первое равенство и перемножая обе части на D зD с ( D з – 2 D л ), получаем:

Слагаемые d лD с × (−2 D л ) в левой части и 2 D лd лD с в правой части взаимно обращаются в 0. Оставшиеся в правой части слагаемые имеют общий множитель D з , который сокращается с множителем D з в левой части. Таким образом, у нас получается формула для D з :

Зная результат наблюдения 2, то есть выведенное нами равенство d с / d л = D с / D л , уравнение выше может быть записано с использованием одних лишь диаметров небесных тел:

Если мы используем полученное ранее численное значение D с / D л = 19,1, это даст D з / D л = 2,85. Аристарх выразил значение этого отношения как лежащее между 108/43 = 2,51 и 60/19 = 3,16, и число 2,85 замечательно попадает в этот промежуток. Но его настоящее значение равно 3,67. Причина того, что результат Аристарха оказался довольно близок к истинной величине, несмотря на сильную ошибку в оценке отношения D с / D л , в том, что результат вычисления малочувствителен к точному значению D с , если D с много больше D л . В самом деле, если мы совсем выкинем из знаменателя слагаемое D л как ничтожно малое по сравнению с D с , то D с в числителе и знаменателе сократятся, и у нас получится просто D з = 3 D л , что не так уж далеко от истины.

Но значительно более важное историческое значение имел тот факт, что, совмещая значения отношений D с / D л = 19,1 и D з / D л = 2,85, легко найти, что D с / D з = 19,1/2,85 = 6,70. И хотя по-настоящему D с / D з = 109,1, уже и такой результат показывал, что Солнце значительно больше Земли. Аристарх усилил эффект, показав сравнение соотношения не диаметров, а объемов двух тел: если соотношение их диаметров равно 6,7, то соотношение их объемов будет равняться 6,73 = 301. Именно это сопоставление, если верить Архимеду, привело Аристарха к мысли, что Земля обращается вокруг Солнца, а не Солнце вокруг Земли.

Уже описанные нами выкладки Аристарха дают значения всех соотношений диаметров Солнца, Луны и Земли, а также значение отношения расстояний до Солнца и Луны. Однако пока мы никак не можем связать соотношением какой-либо диаметр тела с расстоянием между телами. Это становится возможно при учете результата четвертого наблюдения:

Луна имеет угловой размер 2°.

Поскольку угловой размер дуги полной окружности равен 360° (см. рис. 5 г) и длина окружности радиусом dл равна 2 πdл , то диаметр Луны равен

По Аристарху, значение отношения D л / d л лежит в промежутке между 2/45 = 0,044 и 1/30 = 0,033. По неизвестным причинам в сохранившихся трудах Аристарх грубо ошибается в своей оценке видимого углового диаметра Луны. На самом деле он составляет 0,519°, что сводит значение D л / d л к 0,0090. Как мы отметили в главе 8, Архимед в своем труде «Исчисление песчинок» дает величину для углового диаметра Луны 0,5°, что довольно близко к истинному значению и могло бы дать правильные оценки диаметра Луны и расстояния до нее.

Используя результаты наблюдений 2 и 3, из которых Аристарх получил отношение D з / D л диаметров Земли и Луны, и свой результат наблюдения 4, давший ему отношение D л / d л диаметра Луны к расстоянию до нее, он смог найти отношение расстояния до Луны к диаметру Земли. Например, полагая D з / D л = 2,85 и D л / d л = 0,035, получаем:

(Истинное значение – около 30.) Далее, совмещая эту величину с результатом наблюдения 1, дающим отношение расстояния от Земли до Солнца и до Луны как d с / d л = 19,1, Аристарх нашел, что расстояние от Земли до Солнца в d с / D з = 19,1 × 10,0 = 191 раз больше диаметра Земли, тогда как в действительности оно в 11 600 раз больше. Осталось измерить Землю, но это уже следующая задача.

Для его расчета Эратосфен воспользовался сведениями о том, что в полдень во время летнего солнцестояния в Александрии направление на Солнце составляет 1/50 часть полной дуги окружности (то есть 360°/5 = 7,2°) от направления в зенит, тогда как в то же время в Сиене – городе, который, как он предполагал, лежит точно к югу от Александрии – в тот же самый полдень солнце было точно в зените. Поскольку Солнце расположено очень далеко, его лучи, падающие на поверхность Земли в Александрии и Сиене, можно считать параллельными. Вертикаль, то есть направление в зенит для любого города на поверхности Земли, – это продолжение луча, проведенного из центра земного шара к точке расположения этого города на его поверхности, поэтому угол между лучами от центра Земли к Сиене и Александрии должен также составлять 7,2°, или 1/50 часть полной дуги (см. рис. 6). А значит, если основываться на предположениях Эратосфена, длина окружности земного шара должна быть в 50 раз длиннее расстояния от Александрии до Сиены.

Рис. 6. Схема наблюдения Эратосфена, которую он использовал для определения размера Земли.Горизонтальные линии со стрелками демонстрируют направление падения солнечных лучей во время летнего солнцестояния. Пунктирные линии представляют собой лучи, проведенные из центра Земли к Александрии и Сиене, и соответствуют перпендикулярам к поверхности Земли.