Владимир Сурдин - Вселенная в вопросах и ответах. Задачи и тесты по астрономии и космонавтике

Справочники подсказывают нам, что объем Мирового океана составляет 1340,74 млн км 3, общий объем воды на планете — 1390 млн км 3, а общая масса воды M = 1,46 · 10 21кг, что в 4000 раз меньше массы самой Земли. Светимость Солнца L ⊙= 4 · 10 26Вт. И у нас все готово, чтобы получить результат. Время испарения Мирового океана (или всей земной воды, что практически одно и то же) составит

Иными словами, Солнце высушит Землю менее чем через 4 минуты.

Вычислить время полного разрушения Земли немного сложнее, поскольку по мере испарения ее внешних частей на поверхности оставшейся внутренней части будет меняться 2-я космическая скорость. Но, учитывая, что основная масса планеты лежит вблизи ее поверхности (благодаря росту площади шара как R 2), ошибка будет невелика, если мы не станем учитывать этот факт. Тогда время полного испарения Земли будет в 4000 раз больше, чем время испарения воды (просто пропорционально их массам). Оно составит 10,6 суток. Полторы недели — и Земли нет. Вот на что способно наше Солнце. Хорошо, что оно этого не делает.

Поскольку это пылинка, т. е. радиус ее ( r ) мал, будем считать, что она быстро прогревается на всю глубину и всюду — и внутри, и на поверхности — имеет одинаковую температуру ( T ). Солнце, имеющее светимость L ⊙, создает на расстоянии R , вблизи пылинки, освещенность L ⊙/(4π R 2). Пылинка абсолютно черная, полностью поглощающая солнечный свет, следовательно, на нее падает поток тепла π r 2 L ⊙/(4π R 2). В стационарном состоянии такое же количество тепла должно излучаться с поверхности пылинки, площадь которой 4π r 2. Излучение абсолютно черного тела описывается законом Стефана — Больцмана:

ε = σ T 4,

где ε — поток энергии, уходящий с единицы поверхности тела, а σ = 5,67 · 10 –8Вт м –2K –4— постоянная Стефана — Больцмана. Значит, пылинка будет излучать с мощностью 4π r 2σ T 4. Из равенства потоков приходящего и уходящего тепла

получим выражение для температуры:

Обратите внимание, что температура пылинки не зависит от ее размера, пока выполняются принятые выше условия. То есть, она не должна быть слишком маленькая (при размере, сравнимом или меньше длины волны излучения, закон Стефана — Больцмана использовать нельзя) или слишком большая (температура на поверхности не будет везде одинаковой). Как известно, L ⊙= 4 · 10 26Вт. Тогда температура составит

Как видим, на орбите Земли у пылинки вполне «комнатная» температура — около 8 °C. На орбите Юпитера ( R = 5,2 а. е.) она существенно ниже (123 K = −150 °C), а на орбите Нептуна ( R = 30,1 а. е.) пылинка будет совсем холодная (51 K = −222 °C). С другой стороны, на орбите Меркурия ( R ≈ 0,39 а. е.) пылинка нагреется до такой степени (450 К = 177 °C), что полностью потеряет летучие вещества (молекулы воды и других легких газов). А вблизи поверхности Солнца ( R = R ⊙= 4,7 · 10 –3а. е.) пылинка нагреется до 4113 K = 3840 °C, а значит, наверняка испарится.

Если Солнце мгновенно станет прозрачным, то все фотоны из его недр тут же вырвутся наружу. Нетрудно оценить среднюю энергию фотонов, заполняющих Солнце: по своей температуре излучение находится в равновесии с веществом, а температура последнего характеризуется удельной гравитационной энергией, которая близка к квадрату первой космической скорости на поверхности (440 км/с). Поскольку характерная температура 10 4K соответствует скорости 10 км/с, то для скорости 400 км/с получим температуру 1,6 · 10 7K (не возбраняется и сразу вспомнить центральную температуру Солнца). Для фотонов, по закону Вина, это λ = 3 мм/ Т ≈ 2Å (энергия кванта = 5 кэВ — довольно жесткий рентген).

Продолжительность вспышки легко оценить по световому размеру Солнца: R ⊙/c = 2÷3 сек. А мощность — по закону Стефана — Больцмана: 4π R 2σ T 4(где Т = 16 млн K) = 2 · 10 40Вт = 5 · 10 13 L ⊙. Это будет рентгеновская вспышка невероятной мощности!

На второй вопрос ответить легко. Если гигантское пятно полностью состоит из тени, то его температура около 4000 K, а эффективная температура чистой солнечной поверхности около 5800 K. Закон Стефана — Больцмана говорит, что поток солнечного тепла ослабнет в (5800/4000) 4раз, а равновесная температура маленького (или быстро вращающегося) тела понизится в 5800/4000 раз (см. задачу «Пылинка у Солнца»). Если сейчас она составляет около 281 K, то станет 194 K = −79 °C. На самом деле она будет еще ниже, поскольку вся Земля покроется снегом и льдом, отражающими обратно большую часть света. Пожалуй, станет холоднее, чем в лунную ночь в Антарктиде.

На первый вопрос задачи ответить сложнее, поскольку нужно определить, какая часть солнечного излучения попадает в визуальный диапазон спектра при разных температурах поверхности светила. В принципе это можно сделать, если проинтегрировать по частоте излучения произведение двух функций: функции, описывающей солнечный спектр (она близка к функции Планка для спектра абсолютно черного тела), и функции, описывающей чувствительность нашего глаза. Но это сложно. А мы поступим проще: сравним излучение охладившейся до 4000 K поверхности Солнца с излучением лампы накаливания. У обычных лампочек вольфрамовая спираль раскалена до температуры 2700 K, и поэтому основная мощность ее излучения лежит в невидимом инфракрасном диапазоне (закон смещения Вина). Световой КПД такой лампы составляет около 5 %. Если спираль лампы раскалить до температуры около 3400 K (что близко к температуре плавления вольфрама), то КПД достигает 15 %, но лампа при этом быстро сгорает. У энергосберегающих люминесцентных ламп цветовая температура 4200 K и световая эффективность (если верить рекламе) в 5 раз выше, чем у ламп накаливания, т. е. КПД около 25 %. Учитывая это, мы можем с чистой совестью принять для солнечного пятна значение световой эффективности равным 22 %. В этом случае поток видимого света от полностью «запятненного» Солнца понизится в

Теперь понятно, почему пятно на фоне солнечной поверхности выглядит таким темным.