Алексей Левин - Белые карлики. Будущее Вселенной

Стоит еще раз отметить, что нуклоны (нейтроны и протоны) белых карликов находятся в нерелятивистских состояниях, однако именно они обеспечивают практически всю плотность энергии вещества этих звезд. В то же время электроны (не важно, нерелятивистские или релятивистские) дают почти стопроцентный вклад в его давление. К тому же, если электроны находятся в нерелятивистском состоянии (режим Фаулера!), масса белого карлика оказывается возрастающей функцией плотности вещества в его центре, а радиус, напротив, — убывающей; радиус также убывает и с увеличением полной массы карлика (он обратно пропорционален корню третьей степени из массы). Такая зависимость радиуса от массы является общим свойством звезд, у которых давление вещества обеспечивается вырожденной нерелятивистской материей (в данном случае электронным ферми-газом). Другими словами, увеличение гравитационного притяжения, сопутствующее возрастанию массы, вызывает прогрессирующую компактификацию звезды.

Политропный показатель приближается к 4/3 лишь при условии, что все электроны стали ультрарелятивистскими, поэтому к пределу Чандрасекара можно приблизиться лишь асимптотически. В этом пределе радиус звезды уменьшается до нуля, а плотность становится бесконечной (то есть наступает гравитационный коллапс). Это частный случай общего (математически доказанного) правила, согласно которому звезды с политропным уравнением состояния при показателе степени, меньшем 4/3, никогда не бывают динамически устойчивыми.

Первые теоретические модели белых карликов строились в рамках ньютоновской теории тяготения, которая позволяет наглядно понять механизм появления предельной массы. Рассмотрим семейство уравнений состояния звездного вещества с разными степенями зависимости давления от плотности. Расположим в левом конце ряда модели, где давление незначительно растет с увеличением плотности, а в правом — модели с очень быстрым ростом. Очевидно, что в первом случае неизбежно появление пределов чандрасекаровского типа, поскольку тяготение звездного вещества при увеличении массы звезды рано или поздно справится с противостоящим ему давлением, и звезда начнет необратимо сжиматься. В правом конце ряда получаем другую картину — давление растет быстрее силы тяготения, так что звезда способна сопротивляться гравитационному сжатию при любой массе. Именно такой результат и дают политропные модели: при показателе степени 4/3 массовый предел существует, а при показателе 5/3 он отсутствует.

Переход к ОТО полностью изменяет эту картину. Согласно ОТО, давление искривляет метрику пространства-времени и тем самым увеличивает силу гравитации. Поэтому звезды из правой части ряда обязаны схлопнуться в гравитационный коллапс. Если в ньютоновской системе давление всегда противостоит сжатию звезды, то, по Эйнштейну, для достаточно больших масс давление делает сжатие неизбежным. Поэтому компактная звезда, чье тяготение подчиняется ОТО, всегда имеет верхний предел массы, достигаемый при конечной плотности вещества в ее центре. Конкретное значение предела определяется уравнением состояния, однако само его существование от этого уравнения не зависит.

Коль скоро мы дошли до ОТО, стоит задуматься, в какой мере ее необходимо учитывать при обсчете моделей белых карликов. Короткий ответ: в весьма умеренной. Существует простой критерий, который позволяет определить, насколько существенна ОТО для понимания свойств космического объекта массы M и радиуса R . Для этого нужно вычислить численное значение очень простого выражения GM / Rc 2, где G — гравитационная постоянная, а с — скорость света. Если эта величина (легко проверить, что она не зависит от выбора системы единиц) лишь немногим больше нуля, можно с успехом пользоваться ньютоновской теорией тяготения (по крайней мере, в первом приближении). Если она, напротив, не меньше сотой, без ОТО не обойтись.

Этот подсчет элементарен — алгебра для седьмого класса. И что получаем? Для Солнца формула дает приблизительно одну миллионную — почти чистый нуль. Поэтому для моделирования свойств нашего дневного светила вполне достаточно ньютоновского закона всемирного тяготения. Эффекты ОТО можно обнаружить в пространстве неподалеку от Солнца — это небольшая поправка к вычисленному на основе ньютоновской небесной механики вековому вращению орбиты Меркурия и отклонению звездных лучей в солнечном поле тяготения. Однако эти эффекты чрезвычайно малы, и, чтобы их заметить, требуются весьма точные наблюдения. Для типичного белого карлика формула дает одну десятитысячную — больше, но все равно немного. Поэтому учет ОТО вносит в моделирование свойств белых карликов весьма скромные поправки. А вот для нейтронных звезд GM / Rc 2примерно равно одной десятой, тут царствует и правит эйнштейновская теория тяготения.

Физический смысл этого критерия вполне прозрачен. Рассмотрим пробную частицу с массой m , расположив ее вблизи поверхности звезды, а затем умножим на m числитель и знаменатель нашей формулы. В результате она запишется как отношение GmM / R к mc 2. Но GmM / R — это ньютоновская потенциальная энергия пробной частицы в поле тяготения звезды, а mc 2, как всякий знает, есть ее энергия покоя, которая появляется в специальной теории относительности. Если это отношение очень мало, превалирует Ньютон, а если им нельзя пренебречь, лавры первенства переходят к Эйнштейну. Конечно, это демонстрация «на пальцах», но она вполне показательна.

Современные модели белых карликов тоже описывают их вещество как газ (точнее, кулоновскую плазму) из ионов и вырожденных электронов, однако принимают в расчет силовое взаимодействие между частицами (следовательно, газы уже не считаются строго идеальными). Кроме того, эти модели учитывают различия в элементном составе кулоновской плазмы, которая, напомню, может содержать гелий, углерод, кислород и даже магний и неон. Главное их отличие от модели Чандрасекара состоит в том, что у реальных белых карликов предельная масса достигается при конечной плотности. Максимальные массы тех или иных белых карликов, вычисленные на основе этих моделей, тоже (по традиции и из уважения) называется пределом Чандрасекара.

Конечно, есть и другие отличия. Чандрасекар выполнил свою великую работу до того, как Джеймс Чедвик в 1932 г. открыл нейтрон, а Вернер Гейзенберг и Дмитрий Иваненко создали протонно-нейтронную модель атомного ядра. Протоны (свободные или в составе атомных ядер) могут вступать в реакции с электронами и порождать нейтроны и нейтрино — это так называемый обратный бета-распад. Поскольку нейтроны массивней протонов, то процесс возможен только с участием электронов, чья полная энергия примерно в два с половиной раза превышает их энергию покоя mc 2. Нетрудно посчитать, что скорости электронов должны составлять не меньше 80 % скорости света. Этот эффект необходимо учитывать для анализа поведения вещества белого карлика при возрастании его массы.