Грегори Гбур - Загадка падающей кошки и фундаментальная физика

Это странно. Если пренебречь движением Земли вокруг Солнца, которое не играет значимой роли в эксперименте Фуко, то можно сказать, что за сутки маятник, вместе с Пантеоном и городом Парижем, прошел полный круг по своей широтной линии и вернулся в исходную точку в пространстве. Но ведь теперь он раскачивается в другом направлении! По какой-то причине маятник, обойдя вокруг земного шара, ведет себя иначе, чем до этого.

Чтобы понять, как это возможно, проведем мысленный эксперимент. Представьте, что вы несете маленький маятник Фуко на подносе. Предположим для начала, что вы идете по кругу и завершаете свой путь там же, откуда начали. Если вы все время поворачиваете влево, вам будет казаться, что плоскость колебаний маятника разворачивается вправо и в конце круга маятник будет качаться вдоль той же самой линии, вдоль которой качался вначале {4} . Разумеется, сам маятник не меняет направления колебаний, это вы идете по кругу, но, поскольку вы все время поворачиваете, видимое движение маятника меняется. А теперь предположим, что вы идете вперед по прямой. В этом случае направление колебаний маятника не будет меняться, но и вы не вернетесь в начальную точку.

Теперь представьте, что вы несете маятник по большой сферической поверхности (это нетрудно, ведь мы живем именно на такой поверхности). Если вы совершите небольшую круговую прогулку в любом месте Земли, то вам покажется, что маятник у вас в руках вновь развернулся на 360°, как при прогулке по плоской поверхности, ведь небольшой по площади участок сферы можно считать приближенно плоским. Это аналогично ситуации, когда вы ставите маятник на Северном полюсе, где из-за вращения Земли маятник тоже меняет направление вращения на 360°. Вы также можете идти прямо по поверхности Земли, хотя на сфере прямой путь — это всегда часть большого круга, такого как экватор или любой другой круг, который делит земной шар ровно пополам. Маятник не будет менять направление колебаний, если вы двинетесь по большому кругу, но этот круг отличается от прямого пути на плоскости, потому что форма сферы приведет вас обратно в начальную точку даже в том случае, если вы по пути не будете никуда сворачивать.

Наконец, представим, что вы идете с маятником вдоль одной из северных широтных линий — параллелей — Земли. Ни одна из параллелей, за исключением экватора, не является большим кругом; то есть движение по ним нельзя считать прямолинейным движением на сфере. Поэтому, если вы идете с маятником вдоль широтной линии, проходящей, скажем, через парижский Пантеон, то вам, чтобы оставаться на этой линии, все время приходится чуть-чуть поворачивать влево. Вследствие этого по мере вашего движения направление качания маятника будет разворачиваться вправо. Однако, поскольку форма шара естественным образом направляет вас обратно к начальной точке, вам нет необходимости, чтобы попасть туда, поворачивать так сильно, как пришлось бы на плоской поверхности. На плоскости, чтобы вернуться в начальную точку, вам необходимо активно повернуть на 360°; на сфере, чтобы попасть в начальную точку, вы частично поворачиваете сами, а частично следуете за кривизной Земли.

Следовательно, маятник Фуко иллюстрирует собой некоторую геометрическую фазу. То есть базовая геометрия Земли позволяет маятнику вернуться в то же место, но не в том же состоянии, в каком он был до старта. С падающей кошкой происходит нечто очень похожее. В начальный момент ее тело перевернуто вверх лапами и выпрямлено, а затем она проделывает некоторое количество внутренних движений — поворотов и кручений. После того как кошка проделывает эти движения, ее тело обретает первоначальную незакрученную форму (возвращается в то же «место»), но теперь уже лапами книзу (в другом «состоянии»). Кручения и повороты кошки аналогичны движению маятника вокруг Земли, а изменение ориентации кошки аналогично изменению направления оси колебаний маятника. Математически система, демонстрирующая такие изменения, не является голономной, или демонстрирует неголономность .

Существуют различные типы неголономности. В качестве еще одного примера вернемся к нашему полярному путешественнику. Зададимся вопросом: как меняется высота положения путешественника по мере его движения по маршруту? Он может, в принципе, подняться по пути на какой-нибудь холм, то есть высота его положения увеличится, но где-то дальше он обязательно спустится с холма, так что по возвращении в лагерь высота положения окажется прежней.

Предположим теперь, что он путешествует внутри многоуровневого гаража, в котором уровни соединены спиральными пандусами. Если маршрут ведет путешественника вверх по одному из спиральных пандусов, то он все время будет идти только вверх и закончит маршрут точно на этаж выше точки старта. Это еще один пример неголономности: хотя в координатах север — юг — восток — запад этот человек прошел замкнутый маршрут, в результате он оказался в другом месте — на другой высоте. Аналогично маятник в конечном итоге качается в другом направлении, а кошка приземляется в другой ориентации.

Во времена Фуко неголономность маятника, кажется, не произвела особого впечатления на исследователей; они были в восторге от возможности своими глазами наблюдать вращение Земли и стремились вывести точные математические уравнения, которые описывали бы ее движение. Только 100 с лишним лет спустя неголономность в физике получила подлинное признание и оценку, причем в совершенно ином контексте — в квантовой физике.

Почти столетие физики считали, что все сущее имеет двойственную природу — волновую природу и природу частиц; это занятное состояние, называемое корпускулярно-волновым дуализмом, привело, как мы увидим, к возникновению концепции кота Шрёдингера. Когда единичная квантовая частица, такая как электрон, заключена в замкнутое пространство, ее волновые свойства порождают определенные стабильные и относительно простые движения. Эти состояния движения, как ни парадоксально, называются стационарными состояниями , и с каждым из них связано определенное дискретное значение энергии. Зрительно это можно представить себе в виде колеблющейся струны, что математически аналогично квантовой частице, заключенной в одномерный «ящик». Хотя струну можно заставить колебаться с любой частотой (энергией), некоторые частоты соответствуют очень простым колебаниям; именно они представляют собой стационарные состояния струны. Эти состояния можно наглядно продемонстрировать при помощи куска толстой веревки типа скакалки или старого спирального телефонного провода, который надо привязать одним концом к тяжелой опоре и слегка натянуть. Если потрясти свободный конец, на веревке возникнут естественные моды колебаний, аналогичные тем, что можно увидеть на рисунке.