Стивен Вайнберг - Первые три минуты [litres]

Характерное время расширения Вселенной есть величина, обратная постоянной Хаббла, т. е.:

Например, в момент первого стоп-кадра в главе 5 плотность составляла 3,8 миллиарда грамм на кубический сантиметр. Таким образом, время расширения равнялось:

Зададимся вопросом: как ρ(t) зависит от R(t) ? Если основной вклад в плотность вносят нуклоны (материально-доминированная стадия), то полная масса внутри сопутствующей сферы радиуса R(t) пропорциональна количеству нуклонов внутри этой сферы и, следовательно, не меняется:

Следовательно, ρ(t) обратно пропорциональна R(t) 3 :

(Символ ∝ означает «пропорциональна».) Если же в плотности преобладает плотность (массовая) излучения (полученная из плотности энергии делением на скорость света в квадрате), что соответствует радиационно-доминированной эпохе, то p(t) пропорциональна четвертной степени температуры. Но температура меняется как 1/ R(t), а значит, ρ(t) обратно пропорциональна R(t) 4 :

Чтобы одновременно учесть как материально-, так и радиационно-доминированную стадию, запишем этот результат в следующей форме:

Попутно заметим, что ρ(t) , как и следовало ожидать, действительно расходится не медленнее, чем 1/R(t) 3 при R( t ) → 0.

Но скорость типичной галактики тогда равна:

Из дифференциального исчисления хорошо известно, что если скорость пропорциональна какой-либо степени расстояния, то время, необходимое для перемещения из одной точки в другую, пропорционально изменению отношения расстояния к скорости. Говоря более точно, если V пропорциональна R(t) 1–n/2 , то промежуток времени

Таким образом, каково бы ни было значение n , истекшее время пропорционально разности обратных корней из плотности.

Например, после аннигиляции электронов и позитронов в течение всей радиационно-доминированной эпохи плотность энергии имеет следующий вид (см. математическую заметку 6 на с. 249):

Кроме того, в последнем выражении п = 4. Таким образом, Вселенная охлаждается от 100 до 10 миллионов градусов за:

Полученный общий результат более прозрачно можно сформулировать так: промежуток времени, за который плотность падает до ρ (с величины, много большей, чем ρ), равен:

(Если ρ ( t 2 ) > ρ ( t 1 ), то вторым членом в формуле для t 1 – t 2 можно пренебречь.) Например, при температуре 3000 K массовая плотность фотонов и нейтрино равнялась:

ρ = 1,22 × 10 –35× [3000] 4г/см 3= 9,9 × 10¯ 22г/см 3.

Это настолько мало по сравнению с плотностью при 10 8K (или 10 7K, или 10 6K), что время, за которое Вселенная охладится от очень высоких температур, царивших в первые мгновения ее жизни, до 3000 K, можно рассчитать (положив n = 4) следующим образом:

Мы показали, что промежуток времени, за которой плотность падает от экстремальных значений, имевших место в ранней Вселенной, до ρ пропорционален, а сама плотность ρ пропорциональна 1/ R n. Время, следовательно, пропорционально R n/2, или, что то же самое:

Эта формула остается в силе до тех пор, пока кинетическая и потенциальная энергии не упадут настолько, что достигнут одного порядка с их суммой – полной энергией.

Как было отмечено в главе 2, в любой момент времени t на расстоянии ct существует горизонт, отсекающий сигналы, которые еще не успели до нас дойти. Теперь мы увидели, что R(t) при t → 0 уменьшается медленнее, чем расстояние до горизонта. То есть в прошлом был момент, когда все «типичные» частицы находились за горизонтом.

Согласно планковскому распределению энергия du чернотельного излучения в единице объема и в узком интервале длин волн от λ до λ + dλ равна:

Здесь T – температура, k – постоянная Больцмана (1,38 × 10¯ 16эрг/K), c – скорость света (299 729 км/с), e – число, равное 2,718…, и h – постоянная Планка (6,625 × 10¯ 27эрг с), которую в эту формулу ввел Макс Планк.

В случае длинных волн для знаменателя в формуле Планка верно приближенное равенство:

Таким образом, в данном диапазоне длин волн планковское распределение сводится к виду:

Эта формула выражает закон Рэлея – Джинса. Если бы он соблюдался для сколь угодно коротких волн, производная du/dλ стремилась бы к бесконечности при λ→0 и полная плотность энергии чернотельного излучения была бы бесконечной.

К счастью, планковское распределение достигает максимума при длине волны:

λ = 2014052 hc / kT ,