Анна Ливанова - Физики о физиках

Математики отмечают, что всякий раз, обращаясь к работам Пуанкаре, они чувствуют обаяние оригинальности. Чтобы тоже дать хоть чуть-чуть почувствовать это обаяние оригинальности, хочется привести одну фразу из очень интересной его книги «Наука и гипотеза»: «Всякой истине суждено одно мгновение торжества между бесконечностью, когда ее считают неверной, и бесконечностью, когда ее считают тривиальной».

Но «тривиальность» истины — это ведь тоже ее торжество. Значит, она уже стала классикой, доподлинной истиной. Такой истиной стали и многие идеи самого Пуанкаре.

В 1881 году Пуанкаре был избран профессором Сорбонны. В тот же год вышло его сочинение «О кривых, определяемых дифференциальным уравнением». Это чисто математическая работа, не связанная с проблемами физики, механики или астрономии и, казалось, не имеющая к ним никакого отношения. Но в развитии математики роль ее была очень велика — Пуанкаре положил в ней начало так называемой качественной теории дифференциальных уравнений.

Качественная теория дифференциальных уравнений называется еще и топологической. «Топос» — по-латыни — место. В топологии математические отношения определяются не числами, не формулами, а взаимным расположением геометрических фигур. В тех случаях, когда решение дифференциального уравнения не может быть получено в виде числа или формулы, его иногда удается представить геометрической картиной. Например, для систем с одной степенью свободы такую картину можно нарисовать на плоскости в виде определенного набора кривых, а если система имеет большее число степеней свободы, эта картина становится объемной. Так, для двух степеней свободы она будет уже четырехмерной. Плоскость, на которой изображен такой геометрический «портрет» системы, называется фазовой плоскостью; она представляет собой некую специфическую систему координат.

Любой процесс в колебательной системе можно представить на этой плоскости движением точки по некоторой кривой, которая называется интегральной кривой, или фазовой траекторией.

Такое геометрическое изображение поведения колебательной системы Андронов назвал ее фазовым портретом.

Стремясь найти общий характер поведения интегральных кривых, Пуанкаре открыл свои «предельные циклы». Предельным циклом он назвал замкнутую интегральную кривую нелинейного дифференциального уравнения. Предельным этот цикл называют потому, что соседние с ним кривые как снаружи, так и изнутри приближаются к нему асимптотически, то есть подходят к нему все ближе и ближе, в пределе сливаясь с ним совсем.

С этой работой Пуанкаре и познакомился Андронов спустя почти пятьдесят лет после ее появления. И вдруг явственно увидел, что предельные циклы и есть решение волновавшей его задачи об автоколебаниях.

Но это была не единственная находка.

В одном и том же 1892 году появилось два сочинения. Во Франции, в Париже, вышел первый из трех томов «Новых методов небесной механики» Анри Пуанкаре. В России, в Харькове, Александр Михайлович Ляпунов защитил докторскую диссертацию под названием «Общая задача об устойчивости движения», которая была вскоре опубликована.

В сочинении Пуанкаре среди прочего был разработан так называемый метод малого параметра — способ решения нелинейных задач небесной механики, когда нелинейность достаточно мала, то есть когда колебательная система близка к линейной.

Ляпунов строго математически исследовал проблему устойчивости механических систем, опять-таки в применении к астрономии. Он нашел условия, при которых эта устойчивость сохраняется при небольших изменениях в начальных условиях, в начальном, исходном состоянии системы. Термин «устойчивость по Ляпунову» теперь занял прочное место в трудах по механике и математике.

Обнаруженные в этих сочинениях идеи и математический аппарат Андронов также взял на службу нелинейной теории колебаний, как взял и предельные циклы Пуанкаре.

Вот как он сам рассказывал об этом:

— Леонид Исаакович Мандельштам отнесся очень внимательно к моему утверждению, что незатухающие колебания в системах с одной степенью свободы — это предельные циклы Пуанкаре. Когда дальнейшая мобилизация математической информации привела к работам А. М. Ляпунова по устойчивости и к методу малого параметра того же Пуанкаре, то Л. И. Мандельштам — так по крайней мере мне показалось — был несколько удивлен. Он захотел отчетливо понять происхождение всех этих работ, их место внутри математики, их связь, а в некоторых случаях отсутствие прямой связи с астрономией, механикой и физикой. Поразительна та легкость, с которой он установился на новой точке зрения, сумел быстро нащупать ее сильные и слабые стороны и начал руководить атаками при помощи нового оружия…

До работ Андронова математики, занимающиеся качественной теорией дифференциальных уравнений, не подозревали, что предельные циклы имеют отношение к физике и технике, а физики и инженеры, исследовавшие процессы, связанные с генерацией колебаний, не знали, что математический аппарат, нужный для создания общей теории этих процессов, уже существует.

В этих первых работах Андронов выдвинул два требования, касающиеся устойчивости автоколебательных систем.

Одно — чтобы устойчивость не нарушалась при достаточно малых изменениях начальных условий. Это и есть «устойчивость по Ляпунову». Второе — чтобы устойчивость не нарушалась при достаточно малых изменениях самих уравнений, описывающих процессы в нелинейной системе. Второе требование вскоре привело Андронова к совершенно новым и очень глубоким математическим идеям, которые, как это ни парадоксально, едва ли могли возникнуть в самой математике. Потому что путь к ним шел от физики и техники. Идеи эти объединяются словом «грубость», также придуманным Андроновым. Но об этом чуть позже.

Словотворчество — орудие поэта. Словотворчество — органическая потребность ребенка, непременная и постоянная. Но взрослый человек, притом не литератор, редко способен к словотворчеству.

Андронов легко изобретал новые слова и собственные, часто смешные, выражения.

— Что вы ее стрóжите? — спросил он у родителей, при нем отчитывавших маленькую девочку.

— Ушел, завернув хвост колечком, — говорил он о человеке, который не довел до конца своего дела или сумел увильнуть от разговора.

— Отталкивание мягким пузом, — это о том нередком приеме, который потом получил у физиков название «спихотехника».

— Известно маленьким детям. Детский разговор.

Ландау говорил несколько иначе: «Это вам еще мама должна была объяснить». Речь шла, конечно, о вопросах физики, в которых разбирается, увы, не каждая мама.