Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Фиг. 2.3. Двойное рассеяние в близкие конечные состояния.

Частица а , рассеявшись, оказалась в состоянии 1. Под состоянием мы подразумеваем данное направление и энергию или какие-нибудь другие заданные условия. Частица b рассеялась в состояние 2.Предположим, что состояния 1 и 2 почти одинаковы. (На самом же деле мы хотели бы получить амплитуду того, что две частицы рассеялись в одном и том же направлении или в одно и то же состояние, но лучше будет, если мы сперва подумаем над тем, что произойдет, если состояния будут почти одинаковыми, а затем выведем отсюда, что бывает при их полном совпадении.)

Пусть у нас была бы только частица а; тогда у нее была бы определенная амплитуда рассеяния в направлении 1, скажем <1| а >. А частица b сама по себе обладала бы амплитудой <2| b > того, что приземление произойдет в направлении 2. Если частицы не тождественны, то амплитуда того, что в одно и то же время произойдут оба рассеяния, равна попросту произведению

Вероятность же такого события тогда равна

что также равняется

Чтобы сократить запись, мы иногда будем полагать

Тогда вероятность двойного рассеяния есть

Могло бы также случиться, что частица b рассеялась в направлении 1, а частица а —в направлении 2. Амплитуда такого процесса была бы равна

а вероятность такого события равна

Представим себе теперь, что имеется пара крошечных счетчиков, которые ловят рассеянные частицы. Вероятность Р 2того, что они засекут сразу обе частицы, равна просто

(2.3)

Положим теперь, что направления 1 и 2 очень близки. Будем считать, что а с изменением направления меняется плавно, тогда а 1и а 2при сближении направлений 1 и 2 должны приближаться друг к другу. При достаточном сближении амплитуды а 1и а 2сравняются, и можно будет положить а 1= а 2и обозначить каждую из них просто а ; точно так же мы положим и b 1= b 2= b . Тогда получим

(2.4)

Теперь, однако, предположим, что а и b — тождественные бозе-частицы. Тогда процесс перехода а в состояние 1, а b в состояние 2 нельзя будет отличить от обменного процесса, в котором b переходит в 2, а а — в 1. В этом случае амплитуды двух различных процессов могут интерферировать. Полная амплитуда того, что в каждом из счетчиков появится по частице, равна

(2.5)

и вероятность того, что ими будет зарегистрирована пара, дается квадратом модуля этой амплитуды:

(2.6)

В итоге выясняется, что вдвое более вероятно обнаружить две идентичные бозе-частицы, рассеянные в одно и то же состояние, по сравнению с расчетом, проводимым в предположении, что частицы различны .

Хотя мы считали, что частицы наблюдаются двумя разными счетчиками, — это несущественно. В этом можно убедиться следующим образом. Вообразим себе, что оба направления 1 и 2 привели бы частицы в один и тот же маленький счетчик, который находится на каком-то расстоянии. Мы определим направление 1, говоря, что оно смотрит в элемент поверхности dS 1счетчика. Направление же 2 смотрит в элемент поверхности dS 2счетчика. (Считается, что счетчик представляет собой поверхность, поперечную к линии рассеяния.) Теперь уже нельзя говорить о вероятности того, что частица направится точно в каком-то направлении или в определенную точку пространства. Это невозможно — шанс зарегистрировать любое фиксированное направление равен нулю. Если уж нам хочется точности, то нужно так определить наши амплитуды, чтобы они давали вероятность попадания на единицу площади счетчика. Пусть у нас была бы только одна частица a ; она бы имела определенную амплитуду рассеяния в направлении 1. Пусть<1| а >= a 1определяется как амплитуда того, что а рассеется в единицу площади счетчика, расположенного в направлении 1. Иными словами, мы выбираем масштаб а 1и говорим, что она «нормирована» так, что вероятность того, что а рассеется в элемент площади dS 1равна

(2.7)

Если вся площадь нашего счетчика Δ S и мы заставим dS 1странствовать по этой площади, то полная вероятность того, что частица а рассеется в счетчик, будет

(2.8)

Как и прежде, мы хотим считать счетчик настолько малым, что амплитуда а 1на его поверхности не очень меняется; значит, а 1будет постоянным числом, и мы обозначим его через а . Тогда вероятность того, что частица а рассеялась куда-то в счетчик, равна

(2.9)

Таким же способом мы придем к выводу, что частица b (когда она одна) рассеивается в элемент площади dS 2с вероятностью

(Мы говорим d S 2, а не dS 1в расчете на то, что позже частицам а и b будет разрешено двигаться в разных направлениях.) Опять положим b 2равным постоянной амплитуде b ; тогда вероятность того, что частица b будет зарегистрирована счетчиком, равна

(2.10)