Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.

Нам пока мало известно об U ij . Мы знаем только, что при Δ t , стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, U ij →1 и U ij →0 при i ≠ j . Иными словами, U ij →δ ij при Δ t →0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каждый из U ij обязан отличаться от δ ij на величину, пропорциональную Δ t ; так что можно писать

(6.36)

Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэффициентов К ij выносят множитель [20] Здесь небольшая неприятность с обозначениями. В этом множителе i означает мнимую единицу √-1, а не индекс i, относящийся к i-му базисному состоянию! Надеемся, это не слишком смутит вас. (- i / ℏ ); предпочитают писать

(6.37)

Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов H ij ( t ). Члены H ij — это как раз производные по t 2от коэффициентов U ij ( t 2, t 1), вычисляемые при t 2= t 1= t ,

Подставляя в (6.35) этот вид U , получаем

(6.38)

Суммируя члены с δ ij , получаем просто C i ( t ), что можно перенести в другую сторону уравнения. После деления на Δ t мы распознаем в этом производную

или

(6.39)

Вы помните, что С i ( t ) — это амплитуда < i |ψ> обнаружить состояние ψ в одном из базисных состояний i (в момент t ). Значит, уравнение (6.39) сообщает нам, как каждый из коэффициентов < i |ψ> меняется со временем. Но это все равно, что сказать, что (6.39) сообщает нам, как со временем меняется состояние ψ, раз мы описываем ψ через амплитуды < i |ψ>. Изменение ψ со временем описывается через матрицу Н ij , которая, конечно, должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу H ij , которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное описание поведения системы во времени. Таким образом, (6.39)— это квантовомеханический закон для динамики мира.

(Нужно сказать, что мы всегда будем выбирать совокупность базисных состояний, которые фиксированы и со временем не меняются. Иногда используют такие базисные состояния, которые сами меняются. Однако это все равно, что пользоваться в механике вращающейся системой координат, а мы не хотим входить в подобные тонкости.)

Идея, стало быть, заключается в том, что для квантовомеханического описания мира нужно выбрать совокупность базисных состояний i и написать физические законы, задавая матрицу коэффициентов Н ij . Тогда у нас будет все, что нужно, — мы сможем отвечать на любой вопрос о том, что случится. Нам остается выучить правила, по которым находят Н в соответствии с данной физической обстановкой: какое Н отвечает магнитному полю, какое электрическому и т. д. Это самая трудная часть дела. К примеру, для новых странных частиц мы совершенно не представляем, какие Н ij употреблять. Иными словами, никто не знает полного H ij для всего мира. (Частично трудность заключается в том, что едва ли можно надеяться на открытие Н ij , раз никому не известно, каковы базисные состояния!) Мы действительно владеем превосходными приближениями для нерелятивистских явлений и некоторых других особых случаев. В частности, мы знаем вид Н ij , требуемый для движений электронов в атомах — для описания химии. Но мы не знаем полного, истинного Н для всей Вселенной.

Коэффициенты H ij называют гамильтоновой матрицей , или, короче, просто гамильтонианом . (Как получилось, что Гамильтон, работавший в 30-х годах прошлого века, дал свое имя квантовомеханической матрице, — история длинная.) Много лучше было бы называть ее энергетической матрицей по причинам, которые станут ясны, когда мы поработаем с ней. Итак, все сошлось на гамильтониане. Как узнать гамильтониан — вот в чем вопрос !

У гамильтониана есть одно свойство, которое выводится сразу же:

(6.40)

Это следует из того, что полная вероятность пребывания системы хоть в каком - то состоянии не должна меняться. Если вначале у вас была частица (или любой объект, или весь мир), то с течением времени она пропасть не может. Полная вероятность ее где - то найти равна

что не должно меняться со временем. Если это обязано выполняться для любого начального условия φ, то уравнение (6.40) тоже должно соблюдаться.

В качестве первого примера возьмем случай, когда физические условия не меняются со временем; мы имеем в виду внешние физические условия, так что Н не зависит от времени, никаких магнитов никто не включает и не выключает. Выберем также систему, для описания которой хватает одного базисного состояния; такое приближение годится для покоящегося атома водорода и сходных систем. Уравнение (6.39) тогда утверждает, что

(6.41)

Только одно уравнение — и все! Если Н 11постоянно, это дифференциальное уравнение легко решается, давая

(6.42)

Так зависит от времени состояние с определенной энергией Е = Н 11. Вы видите, почему Н ij следовало бы называть энергетической матрицей: она обобщает понятие энергии на более сложные случаи.

Вслед за этим, чтобы еще лучше разобраться в смысле уравнений, рассмотрим систему с двумя базисными состояниями.

Тогда (6.39) читается так: