Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

с решением

(6.48)

Вычитая затем (6.47) из (6.46), получаем

что дает

(6.49)

Две постоянные интегрирования мы обозначили а и b ; их надо выбрать так, чтобы получились подходящие начальные условия данной физической задачи. Наконец, складывая и вычитая (6.48) и (6.49), получаем C 1и С 2:

(6.50)

(6.51)

Они отличаются только знаком при втором слагаемом.

Решения-то мы получили, но что они значат? (В квантовой механике трудность не только в том, чтобы получить решения, но и в том, чтобы разобраться в их смысле!) Заметьте, что при b =0 оба решения обладают одинаковой частотой ω=( E 0- A )/ ℏ . Если все меняется с одной частотой, это значит, что система пребывает в состоянии с определенной энергией, в данном случае с энергией ( Е 0- А ). Значит, существует стационарное состояние с такой энергией; в нем обе амплитуды С 1и C 2равны друг другу. Мы приходим к выводу, что молекула аммиака обладает определенной энергией ( Е 0- А ), если для атома азота одинакова амплитуда оказаться «вверху» и «внизу».

Имеется другое допустимое стационарное состояние, когда а=0; тогда обе амплитуды обладают частотой ( E 0+ A )/ ℏ . Значит, имеется другое состояние с определенной энергией ( Е 0+ А ), когда две амплитуды равны, но отличаются знаком: C 2=- C 1. Вот и все состояния с определенной энергией. В следующей главе мы поговорим о состояниях молекулы аммиака подробнее; здесь же мы отметим еще только некоторые особенности.

Мы приходим к заключению, что из - за того , что имеется некоторая вероятность перескока атома азота из одного положения в другое, энергия молекулы равна не просто Е 0, как можно было ожидать, но обладает двумя энергетическими уровнями ( Е 0+ А ) и ( Е 0- А ). Каждое из возможных состояний молекулы, какую бы энергию оно ни имело, «расщепляется» на два уровня. Мы говорим «каждое из состояний», потому что, как вы помните, мы выбрали какое-то определенное состояние вращения с определенной внутренней энергией и т. д. И для каждых мыслимых условий подобного рода возникает (из-за возможности переворота молекулы) пара энергетических уровней.

Теперь поставим следующий вопрос. Пусть мы знаем , что при t =0 молекула находится в состоянии |1>, т. е. что С 1(0)=1 и С 2(0)=0. Какова вероятность того, что молекула будет обнаружена в момент t в состоянии |2> или же что она окажется в этот момент в состоянии |1>? Наши начальные условия говорят нам, какими должны быть а и b в (6.50) и (6.51). Полагая t =0, имеем

Значит, а = b =1. Подставляя их в формулы для С 1( t ) и С 2( t ) и вынося общий множитель, получаем

Это можно переписать так:

(6.52)

(6.53)

Величина обеих амплитуд гармонически изменяется во времени.

Вероятность того, что молекула будет обнаружена в состоянии |2> в момент t , равна квадрату модуля C 2( t ):

(6.54)

Она, как и следует, начинается с нуля, растет до единицы и затем колеблется вперед и назад между нулем и единицей, как показано на кривой, обозначенной P 2, на фиг. 6.2.

Фиг. 6.2. P 1 — вероятность того, что молекула аммиака, находившаяся при t=0 в состоянии |1>, будет обнаружена в момент t тоже в состоянии |1>; Р 2 — вероятность того, что она будет обнаружена в состоянии |2>.

Вероятность остаться в состоянии |1> тоже, конечно, не остается равной единице. Она «перекачивается» во второе состояние до тех пор, пока вероятность увидать молекулу в первом состоянии не обратится в нуль, как показано на кривой Р 1фиг. 6.2. Вероятность попросту переливается туда и обратно между этими двумя состояниями.

Еще раньше мы видели, что бывает, если качаются два одинаковых маятника, слегка связанные друг с другом [см. гл.49 (вып.4)]. Когда мы отводим в сторону один из них и отпускаем, он колеблется, но затем постепенно начинает колебаться другой и вскоре забирает себе всю энергию. Затем процесс обращается, и энергию отбирает первый маятник. В точности то же самое происходит и здесь. Скорость, с какой происходит обмен энергией (быстрота просачивания «колебаний»), зависит от связи между маятниками. Кроме того, как вы помните, при двух маятниках существуют два определенных типа движений (каждый с определенной частотой), которые мы назвали фундаментальными типами колебаний. Если отклонить оба маятника вместе, они колеблются с одной частотой. Если же отклонить один в одну сторону, а другой — в другую, то появляется иной стационарный тип колебаний и тоже с определенной частотой. С тем же мы встретились и сейчас — молекула аммиака математически походит на пару маятников. Существуют две частоты ( E 0+ A )/ ℏ и ( Е 0- A )/ ℏ , при которых они колеблются либо разом, либо навстречу друг другу.

Сходство с маятником ненамного глубже принципа, что у одинаковых уравнений и решения одинаковы. Линейные уравнения для амплитуд (6.39) очень похожи на линейные уравнения для гармонических осцилляторов. (В действительности именно этой причине обязана успехом наша классическая теория показателя преломления, в которой квантовомеханический атом мы заменяли гармоническим осциллятором, хотя классически неразумно говорить об электронах, циркулирующих вокруг ядра.) Толкнув атом азота в одну сторону, вы получите суперпозицию этих двух колебаний и тем самым своеобразные биения, потому что система не будет находиться в том или ином состоянии с определенной частотой. Однако расщепление уровней энергии молекулы аммиака — это строго квантовомеханический эффект.