Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Теперь бросим взгляд на систему уравнений нашей новой задачи: на (11.28) плюс такие же уравнения для остальных атомов. Уравнения, куда входят а n с n ≤-1, решаются формулой (11.29) при условии, что k оказывается связанным с Е и постоянной решетки b соотношением

(11.30)

Физический смысл этого таков: «падающая» волна с амплитудой α приближается к атому «нуль» (или «рассеивателю») слева, а «рассеянная» или «отраженная» волна с амплитудой β бежит обратно, т. е. налево. Не теряя общности, можно положить амплитуду α падающей волны равной единице. Тогда амплитуда β будет, вообще говоря, комплексным числом.

То же самое можно сказать и о решениях а n при n ≥1. Коэффициенты могут стать иными, так что следовало бы писать

(11.31)

Здесь γ — амплитуда волны, бегущей направо, а δ — амплитуда волны, приходящей справа. Мы хотим рассмотреть такой физический случай, когда вначале волна бежит только слева, и за рассеивателем (или атомом загрязнения) имеется только «прошедшая» волна. Будем поэтому искать решение, в котором δ=0. Стало быть, мы попытаемся удовлетворить всем уравнениям для а n , кроме средней тройки в (11.28), с помощью следующих пробных решений:

(11.32)

Положение, о котором идет речь, иллюстрируется фиг. 11.6.

Фиг. 11.6. Волны в одномерной решетке а одним «примесным» атомом в n=0.

Используя формулы (11.32) для а -1и а +1, можно из средней тройки уравнений (11.28) найти а 0и два коэффициента β и γ. Таким образом, мы найдем полное решение. Надо решить три уравнения (полагая x n = nb ):

(11.33)

Вспомните, что (11.30) выражает E через k . Подставьте это значение Е в уравнения и учтите, что

тогда из первого уравнения получится

(11.34)

а из третьего

(11.35)

что согласуется друг с другом только тогда, когда

(11.36)

Это уравнение сообщает нам, что прошедшая волна (γ) — это просто исходная падающая волна (1) плюс добавочная волна (β), равная отраженной. Это не всегда так, но при рассеянии на одном только атоме оказывается, что это так. Если бы у вас была целая группа атомов примеси, то величина, добавляемая к волне, бегущей вперед, не обязательно вышла бы такой же, как у отраженной волны.

Амплитуду β отраженной волны мы можем получить из среднего из уравнений (11.33); окажется, что

(11.37)

Мы получили полное решение для решетки с одним необычным атомом.

Вас могло удивить, отчего это проходящая волна оказалась «выше», чем падавшая, если судить по уравнению (11.34). Но вспомните, что β и γ — числа комплексные и что число частиц в волне (или, лучше сказать, вероятность обнаружить частицу) пропорционально квадрату модуля амплитуды. В действительности «сохранение числа электронов» будет выполнено лишь при условии

(11.38)

Попробуйте показать, что в нашем решении так оно и есть.

Бывает и другой интересный случай. Он может возникнуть, когда F число отрицательное. Если энергия электрона в атоме примеси (при n =0) ниже, чем где-либо в другом месте, то электрон может оказаться захваченным этим атомом. Иначе говоря, если Е 0+ F ниже самого низа полосы (меньше, чем Е 0-2 А ), тогда электрон может оказаться «пойманным» в состояние с Е < Е 0-2 А . Из всего того, что мы делали до сих пор, такое решение не могло получиться. Но это решение можно получить, если в пробном решении (11.15) разрешить k принимать мнимые значения. Положим k = ix . Для n <0 и для n >0 у нас опять будут разные решения. Для n >0 допустимое решение могло бы иметь вид

В экспоненте мы выбрали плюс; иначе амплитуда при больших отрицательных n стала бы бесконечно большой. Точно так же допустимое решение для n >0 имело бы вид

(11.40)

Если подставить эти пробные решения в (11.28), то они удовлетворят всем уравнениям, кроме средней тройки, при условии, что

(11.41)

А раз сумма этих двух экспонент всегда больше 2, то эта энергия оказывается за пределами (ниже) обычной полосы. Это-то мы и искали. Оставшейся тройке уравнений (11.28) удастся удовлетворить, если взять с =с' и если ϰ выбрать так, чтобы

(11.42)

Сопоставив это уравнение с (11.41), найдем энергию захваченного электрона

(11.43)

Захваченный электрон обладает одной-единственной энергией (а не целой полосой); она расположена несколько ниже полосы проводимости.

Заметьте, что амплитуды (11.39) и (11.40) не утверждают, что пойманный электрон сидит прямо в атоме примеси. Вероятность обнаружить его у одного из соседних атомов дается квадратом этих амплитуд. Изменение ее показано столбиками на фиг. 11.7 (при каком-то наборе параметров).