Айзек Азимов - Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики

Когда мы делим 12 фт/с на 3 секунды, получаем ответ, в котором единицы измерения так же, как и числовые значения, подвергаются делению, — другими словами, 4 фт/с разделить на с. Это может быть записано в виде 4 фт/с/с (читается «четыре фута в секунду за секунду»). Как мы знаем, и алгебраическом преобразовании a/b разделить на b равно a/b, умноженному 1/b, соответственно окончательный результат равен a/b 2. Теперь преобразуем единицы измерения по тому же принципу, мы получим (4 фт/с)/с , то есть 4 фт/с 2(читается «четыре фута на секунду в квадрате»).

Как вы можете видеть в данном случае, если посчитаете ускорение для любого временного интервала, ответ будет всегда тот же самый: 4 фт/с 2. Для разных наклонных плоскостей ускорение будет различно в зависимости от степени наклона, но оно останется постоянным (константой) для любой данной наклонной плоскости в любой интервал времени.

Таким образом, мы можем выразить открытие Галилео относительно падающих тел более простым и более наглядным способом. Сказать, что все тела преодолевают равные расстояния за равные промежутки времени, будет правильно; однако это не говорит ничего о том, падают ли тела с равномерными скоростями, равноускоренно или с неравномерными скоростями. Еще раз, если мы говорим, что все тела падают с равными скоростями, мы ничего не говорим относительно того, как эти скорости могут изменяться по времени.

Теперь мы можем сказать, что все тела независимо от веса (мы пренебрегаем сопротивлением воздуха) катятся вниз по наклонным плоскостям или свободно падают с равным и постоянным ускорением. Если сказанное верно, из этого следует неизбежно, что два падающих тела проходят одно и то же расстояние за одинаковое время и что в любой данный момент они падают с одной и той же скоростью (предполагая, что они начали падать в одно и то же время). Это также говорит нам о том, что скорость тел увеличивается со временем и что она увеличивается на постоянную величину.

Общепринято выражать такие взаимоотношения при помощи математических символов. При таком способе мы не привносим в них ничего существенно нового. Используя математические символы, мы выражаем именно то, что мы хотели бы сказать словами, но более кратко и более общо. Математика — язык стенографии, в котором каждый символ имеет точное и согласованное значение. Как только язык изучен, мы понимаем, что это, в конце концов, всего лишь одна из форм английского языка.

Например, мы только что рассмотрели случай ускорения 4 фт/с 2(из состояния покоя). Это означает, что в конце первой секунды скорость объекта равна 4 фт/с, после двух секунд — 8 фт/с, после трех секунд — 12 фт/с и так далее. Короче говоря, скорость равна ускорению, умноженному на время. Если мы обозначим скорость символом v, а время — символом t, мы можем сказать, что в этом случае v равна 4t.

Но фактическое ускорение зависит от угла, под которым отклонена наклонная плоскость. Если наклонная плоскость сделана более крутой, это приведет к увеличению ускорения; если сделать ее менее крутой, то ускорение уменьшится. Для любой данной плоскости ускорение постоянно, но специфическое значение константы может очень измениться от плоскости к плоскости. Позвольте нам поэтому не привязываться к конкретному числовому значению ускорения, давайте просто обозначим это ускорение символом а. Тогда мы можем сказать:

Важно помнить, что такие уравнения в физике включают в себя не только числа, но и единицы измерения. Таким образом, а в уравнении 2.1 не представляет собой число, например, скажем, 4, а представляет собой число и его единицы измерения — 4 фт/с 2— единицы измерения, соответствующие ускорению. Так же и t, которым обозначают время, представляет собой число и его единицы измерения, например три секунды (3 с). Рассчитывая at, мы умножаем 4 фт/с 2на 3 с, перемножая единицы измерения так же, как цифры. Преобразовывая единицы измерения так, как если бы они были дробями (другими словами, как если бы мы должны были умножить a/b 2 на b), получаем произведение, равное 12 фт/с. Таким образом, умножение ускорения (а) на время (t) действительно дает нам скорость (v), а полученные единицы измерения фт/с, соответствующие скорости, подтверждают правильность нашего преобразования.

В любом уравнении в физике единицы измерения, находящиеся по обеим сторонам знака равенства, должны быть сбалансированы после того, как закончены все необходимые алгебраические преобразования. Если этот баланс не получен, то уравнение не соответствует действительности и не может быть названо верным. Если единицы измерения какого-либо из символов неизвестны, они могут быть определены посредством решения того, какой единицы недостаточно для того, чтобы сбалансировать уравнение (это иногда еще называют «анализом размерностей»).

Теперь, учитывая все предыдущее, рассмотрим шар, начинающий движение из состояния покоя и катящийся вниз по наклонной плоскости в течение t секунд. Так, шар начинает свое движение из состояния покоя, его скорость в начале временного интервала равна 0 фт/с. Согласно уравнению 2.1, в конце временного интервала во время / его скорость v равна at фт/с. Чтобы получить среднюю скорость на всем временном интервале равномерного увеличения скорости, мы берем сумму первоначальной и заключительной скорости (0 + at) и делим ее на 2. Таким образом, средняя скорость в течение временного интервала равна at/2. Расстояние (d), которое прошел шар за это время, должно быть равно средней скорости, умноженной на время, то есть at/2xt. Поэтому мы можем написать, что

Я не буду пытаться проверять единицы измерения для каждого представленного в книге уравнения, но сделаю это для данного. Единицы измерения ускорения (а) — фт/с 2, а единицы измерения времени (t) — с (секунды). Поэтому итоговые единицы измерения равны at 2 — (фт/с 2) ∙ с ∙ с, то есть (фт∙с 2)/с 2, упростив это выражение, получаем просто фт (футы). От деления на 2 at 2 не изменяется, так же как с 2, так как 2 в этом случае — «чистое число», то есть оно не имеет единиц измерения. (Так же как, если вы делите линейку длиной в фут на два, каждая половина имеет длину 12 дюймов, разделенных на 2 или на 6 дюймов. На единицу измерения это же не оказывает эффекта.) Таким образом, получающиеся единицы измерения at 2/2 — фт (футы), что соответствует единицам, применяемым для измерения расстояния (d) [7] Или, как его еще называют, — «перемещения». (Примеч. пер.) .

Как я сказал ранее, значение ускорения (а) шара, катящегося вниз по наклонной плоскости, изменяется в соответствии с углом наклона плоскости. Чем более крутая плоскость, тем больше значение а.