Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Эта задача — простой, частный пример закона сохранения энергии. Восхитительный закон природы? Едва ли, просто мы так выбрали выражение 1/ 2 Mv 2для кинетической энергии, чтобы оно было равно F ∙ s , а так как мы используем то же самое выражение F ∙ s для характеристики изменения потенциальной энергии, то следует ожидать, что сумма обеих энергий будет оставаться постоянной как следствие нашего выбора.

Если какая-то часть движения падающего камня расходуется на трение о воздух, то сумма энергий не будет постоянной. Кинетическая энергия будет расти медленнее, так как трение требует своей доли. Поэтому без учета теплоты (и энергии воздушных токов), идущей на нагревание воздуха из-за трения, мы не получим закона сохранения энергии.

В пункте (б) мы выбрали некрасивый способ вычисления v ; сначала из формулы s= v 0 t+ 1/ 2 at 2нашли время, затем из v= v 0+ atопределили скорость. Все это делалось для того, чтобы избежать незнакомой нам формулы v 2= v 2 0+ 2 as. А если мы воспользуемся ею, то мгновенно получим

v 2= 0 2+ 2∙9,8∙10 = 196 м 2/сек 2,

v= √196 = 14 м/сек.

Кроме того, ясно, что эта формула немедленно дает сохранение энергии, ибо из нее и было получено 1/ 2 Mv 2.

Более общая алгебраическая форма записи . Предположим, что камень массой m начинает падать с начальной скоростью v 0с высоты h 0. К моменту, когда его высота станет h 1, он пройдет расстояние ( h 0— h 1) с ускорением g , направленным вниз, так что его скорость их будет определяться выражением

v 2 1= v 2 0+ 2 g∙( h 0— h 1)

Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий равна

1/ 2 mv 2 1 + mgh 1= 1/ 2∙ m∙[ v 2 0+ 2 g∙( h 0— h 1)] + mgh 1=

= 1/ 2 mv 2 0 + mgh 0— mgh 1+ mgh 1=

= 1/ 2 mv 2 0 + mgh 0

т. е. первоначальной сумме кинетической и потенциальной энергий. Следовательно, на любой высоте h 1полная энергия та же, что и на первоначальной высоте h 0.

Пример Д. Теплота и кинетическая энергия

Свинцовая пуля массой 0,006 кг, летящая со скоростью 400 м/сек, ударяет в стальную стенку и останавливается. Подсчитайте, насколько возрастет ее температура. Удельная теплоемкость свинца составляет 0,03, а 1 Кал = 4200 дж.

Примечание . Удельная теплоемкость 0,03 означает, что свинец требует в 0,03 раза больше тепла, чем та же масса воды при нагревании на одну и ту же температуру (см. гл. 27 ). Для нагревания воды массы М на Δ Т ° С требуется М ∙Δ Т Кал. А в случае свинца потребуется теплоты в 0,03 раза больше, или М ∙Δ Т ∙(0,03) Кал

Предположим, что вся кинетическая энергия пули превратится в теплоту

1/ 2 mv 2= 1/ 2∙(0,006)∙(400 2) = (0,006)∙80 000 дж.

Если повышение температуры (Δ Т ) равно Δ Т ° С, то поглощенное свинцом количество тепла равно

(МАССА)∙(ПОВЫШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ)∙(УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ) =

= (0,006)∙(Δ Т )∙(0,03) Кал =

= (0,006)∙(Δ Т )∙(0,03)∙(4200) дж

Если вся кинетическая энергия переходит в теплоту и если вся теплота остается в свинце, то (0,006)∙(80 000) дж должны быть равны (0,006)∙(Δ Т )∙(0,03)∙(4200) дж. Сокращая на массу пули, 0,006 (кстати, почему она должна сократиться?) и разрешая относительно Δ Т , получаем

Δ Т = 80 000/(0,03)∙(4200) = 635 °C

Как и многие ответы к задачам в учебниках, и этот ответ далек от реальности, ибо такое повышение температуры привело бы к плавлению свинца, а в реальном соударении часть теплоты передается стенке.

Замкнутые системы

Любые законы сохранения энергии, импульса, воды, денег… должны иметь дело с «замкнутой системой». Мы проводим вокруг рассматриваемой области мысленную границу, и должны быть уверены, что ни одна из сохраняющихся величин не пересекает этой границы. Тогда, утверждая, что нечто сохраняется, мы имеем в виду, что в пределах этой границы оно не может быть ни создано, ни уничтожено (не считая равных количеств положительного и отрицательного) и возможен лишь обмен. Доведенное до предела, это требование вынуждает нас в качестве замкнутой системы брать всю Вселенную, но в большинстве случаев даже небольшая совокупность тел или частиц оказывается практически замкнутой системой.

Вряд ли можно доказать закон сохранения денег для отдельного человека или для отдельного города. В каждом из этих случаев система не замкнута: деньги постоянно обращаются — текут то туда, то сюда. Однако можно обнаружить «закон сохранения денег» на небольшом острове. Требование замкнутости кажется достаточно очевидным, забыв о нем, можно прийти к парадоксам. Стреляющее ружье не составляет замкнутой системы ни с точки зрения количества движения (импульса), ни с точки зрения энергии — и то, и другое возрастает. Но если ружье поставить на колеса, то ружье + пуля + газы образует практически замкнутую систему в отношении количества движения: все они получают равные, но противоположные количества движения, а полное количество движения системы остается неизменным. Для энергии нам нужно взять ружье + порох + пулю ; только тогда можно рассчитывать на ее сохранение.

Сохранение механической энергии: Е пот+ Е кин= const

Предположим, что у нас есть замкнутая система с точки зрения энергии, т. е. таких сил, которые бы вносили и уносили энергию через границу, нет. Результирующая сил, действующих на систему извне, должна быть равна нулю. Все внутренние силы должны распадаться на пары: F 1и — F 1, F 2и — F 2и т. д. (третий закон Ньютона). Разлагая силы на подходящие компоненты и умножая их на пройденное расстояние, мы можем для любых изменений внутри системы вычислить передачу энергии. Для этого требуется досконально изучить геометрию системы и понимать, что силы — это векторы и действуют они независимо друг от друга. Здесь мы не будем вдаваться в подробности, но если все силы подобны упругим или силе тяжести, то они приведут к равным, противоположным переходам между различными сортами кинетической и потенциальной энергий. Рассуждения, однако, становятся несправедливыми, если встречаются силы, подобные трению, которые противятся всякому скольжению (т. е. не похожи на пружину, которая противится движению в одну сторону и помогает в другую). Если вы тащите камень без трения вверх по склону из точки А в точку В , то прирост потенциальной энергии будет одинаков для прямого пути из А в В в для окольного. Но на шероховатом склоне чем длиннее путь, тем больше энергии переходит в теплоту. Таким образом, существенная особенность, позволяющая утверждать, что сумма потенциальной и кинетической энергий постоянна, состоит в следующем: