Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Предположим, что:

1) молекулы движутся хаотически , они столь многочисленны и сталкиваются так часто , что оправдано статистическое рассмотрение;

2) при каждом соударении импульс сохраняется , т. е. молекулы подчиняются тем же законам столкновения, что и упругие шары;

3) при каждом соударении кинетическая энергия сохраняется ; происходит упругое соударение [210], в противном случае молекулы через долю секунды падали бы на дно сосуда.

Пометим теперь любые две сближающиеся, сталкивающиеся и разлетающиеся молекулы номерами 1 и 2 и запишем простые алгебраические уравнения:

(Полный импульс до соударения) = (Полный импульс после соударения)

m 1 v 1 + m 2 v 2= m 1 v' 1 + m 2 v' 2

(Полная кинетическая энергия до соударения) = (Полная кинетическая энергия после соударения)

1/ 2 m 1 v 1 2 + 1/ 2 m 2 v 2 2= 1/ 2 m 1 v' 1 2 + 1/ 2 m2 v' 2 2

Одно соударение — лишь небольшой штриха общей картине. Эти уравнения нужно написать для миллиардов соударений и просуммировать по громадному множеству молекул. Результат оказывается простым: при смешении газов Аи Вмолекулы обоих типов будут обладать одной и той же средней кинетической энергией

1/ 2 m A v ¯ A 2 = 1/ 2 m B v ¯ B 2

Чтобы получить этот результат, нам нужна не таинственная физика, а высшая математика для усреднений, и придется еще позвать на помощь статистика. Он занимается той же работой, но в других областях. Например, для страховых компаний он усредняет продолжительность жизни многих людей в разных ситуациях. Продолжительность отдельной жизни может сильно отличаться от средней, но само среднее — удивительно надежная величина. Благодаря ей страховые компании оправдывают свои миллионные вложения. В газе же имеют дело с гораздо большим числом «клиентов» и событий, нежели любая страховая компания.

В наперстке воздуха более 50 000 000 000 000 000 000 молекул, каждая из которых сталкивается миллиарды раз в секунду. Поэтому, хотя и следует ожидать индивидуальных флуктуации, как в броуновском движении, усреднение дает надежные статистические предсказания [211].

Чтобы уяснить себе статистическую задачу, рассмотрим воображаемую социологическую ситуацию. Посадим на необитаемый остров миллион гигантов и миллион пигмеев, снабдив их деньгами, топливом, пищей и т. п. А теперь спросим статистиков: «Каково будет распределение среди гигантов и пигмеев через несколько лет?» Статистик потребует от нас уточнения: «Распределение чего? Денег? Одежды? Роста?» Свой ответ статистик может представить нам в виде графиков а и б на фиг. 88.

Фиг. 88.Графики распределений ( II, III, IV, V).

Молекулы на Графике V сгруппированы в соответствии с величиной Мv независимо от направления скорости.

Даже если мы потребуем, чтобы были сохранены первоначальные деньги и одежда (старые платья просто перешиваются), то должны ожидать одного и того же среднего для денег и разного среднего для одежды.

Вернемся к молекулам. Статистик скажет нам, что для любой смеси молекул распределение по кинетическим энергиям будет одним и тем же, с одинаковым средним значением у молекул различных типов [212]. Распределение по импульсам будет различным . (Среднее значение импульса , разумеется, в отсутствие ветра равно нулю. Здесь же мы говорим о величине Mv безотносительно к ее направлению.)

Равномерное распределение энергии

Этот статистический результат называется равномерным распределением энергии. В любой смеси газов энергия распределяется между молекулами так, что средние кинетические энергии молекул разного типа оказываются одинаковыми. То же справедливо и когда газы не смешиваются, а содержатся в раздельных контейнерах, но при одной и той же температуре, ибо тогда их можно смешать без каких бы то ни было изменений. Следовательно, если два газа А и В находятся при одинаковой температуре, то

1/ 2 m A v ¯ A 2 = 1/ 2 m B v ¯ B 2

Этот закон равномерного распределения энергии оказывается очень полезным. Рассмотрите в этой связи следующие задачи,

Задача 2. Скорость диффузии

Предполагая применимость равномерного распределения энергии, предскажите отношение скоростей диффузии двух газов А и В из резервуара с высоким давлением в вакуум через пористую перегородку.

Задача 3. Разделение изотопов урана

Для атомных бомб и реакторов на обогащенном уране необходимо отделить легко расщепляющийся изотоп U 235от обычного изотопа U 238, который мешает делению. Это достигается диффузией в огромном масштабе. Твердый уран химически переводится в газообразный фторид урана UF 6, диффундирующий через мелкие поры в специальной перегородке (см. фиг.16–18, стр. 358–360). Следуя изложенным ниже рассуждениям, установите возможный выход газа.

1) Химические эксперименты и рассуждения показывают, что молекула кислорода состоит из двух атомов, поэтому мы записываем ее как О 2, молекула водорода также составлена из двух атомов, Н 2, а молекулы фторида урана имеют состав UF 6.

2) Химические измерения говорят нам, что относительные массы отдельных атомов О, Н и F и обычного урана равны 16, 1, 19 и 238. Все это в шкале, где легчайшему атому, Н, приписывается масса 1 (точнее, 16,0000…— изотопу кислорода О 16).

а) Какова, по вашему мнению, будет скорость молекул кислорода по сравнению с молекулами водорода при той же температуре? Из соотношения ( масса О 2)/( масса Н 2) = 32/2 и равномерного распределения энергии, (без возвращения к PV= 1/ 3…) вычислите отношение

( средняя скорость Н 2)/( средняя скорость О 2).

б) Повторите эти же сравнения для О 2и UF 6. (Относительная масса UF 6равна, конечно, не просто 238, а 238 для U плюс 6-19 для F 6, т. е. 238 + 114 = 352.)

в) Вспомните теперь, что существует несколько сортов (изотопов) урана. В естественной смеси изотопов урана, полученной из руды, большинство атомов имеет относительную массу 238, редкого изотопа 235 в смеси всего 0,7 %; его-то как раз и нужно отделить. Предположим, что через пористую перегородку диффундирует смесь (U 238F 6и U 235F 6). Более легкие молекулы. UF 6 отличаются по средней скорости от более тяжелых, поэтому в диффундировавшей смеси получается другая пропорция изотопов. Будет ли новая смесь относительно богаче или беднее U 235F 6?

г) Объясните ваш ответ.

8) Установите процентную разницу между средними скоростями U 238F 6и U 235F 6. ( Примечание . Как показано в гл. 11 [213], изменение некой измеряемой величины Q на х % для √ Q дает изменение 1/ 2 х %.)