Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

в) Найденное выше различие средних скоростей иллюстрирует то мизерное изменение, которое дает диффузия на пути от природной смеси с 0,7 % U 235F 6к желаемому продукту, содержащему, скажем, 99 % U 235F 6. Поэтому в каскадной диффузионной системе (см. фиг. 18, стр. 360) необходимо множество стадий. Сколько, по-вашему, потребуется последовательных стадий: дюжина? тысячи? миллионы? (Выберите разумное число.)

Масса молекул

С помощью равномерного распределения энергии мы действительно можем определить массу молекул. Суть идеи иллюстрирует приводимая ниже задача 4 . При этом достаточно косвенных экспериментальных измерений. По броуновскому движению частиц мы наблюдаем суммарный эффект, но не можем увидеть частых ударов молекул. Молекулярное движение безнадежно скрыто от нас. Мы можем регистрировать положение какой-то частицы через равные интервалы времени и измерять расстояние, пройденное за каждый интервал. Но это снова статистические данные и нам снова нужна помощь математики. Эйнштейн и другие показали, как по записи блужданий частицы найти ее истинную скорость.

На фиг. 89 показана траектория броуновского движения одной частицы, зарегистрированная знаменитым французским физиком Пэрреном. Он отмечал положение частицы через каждые 2 минуты.

Фиг. 89. Карта Пэррена.

Линии проведены по записям Пэррена и соответствуют расстоянию около 10 -5м (1/100 мм) в воде. Масса частиц ~ 10 -16кг.

«Обсчет» измерении привел затем к значению средней скорости частицы v 1, а следовательно, и к массе толкающих частицу молекул. Сам метод, вообще говоря, не очень точен, если бы не золотые руки французского экспериментатора Пэррена, который посвятил этому годы своей жизни. Полученные им результаты согласовались с более надежными оценками, сделанными на основе измерений отношения заряда к массе для ионов и величины заряда электрона.

Задача 4. Измерение массы отдельной молекулы

Равномерное распределение энергии — вещь настолько общая, что ее можно применять и к броуновскому движению частицы пепла, пляшущей среди молекул воздуха. Предположим, что удалось измерить среднюю скорость частицы v 1и ее массу m 1.

а) Объясните, как можно вычислить массу отдельной молекула?

б) Скажите, какая еще экспериментальная информация нужна для ответа?

в) Откуда взять эту дополнительную информацию?

Задача 5. Масса «молекул воздуха» [214]

Вот данные, которые можно получить из броуновского движения. Правда, они искусственны и получены не из эксперимента, который должен был бы быть непосредственным, но зато типичны для реального броуновского движения. Наблюдения дают среднюю скорость случайного движения частицы пепла (масса которой 10 -14 кг— одна стомиллионная миллиграмма), равную примерно 10 -3м/сек (1 мм/сек).

Найдите массу «молекулы воздуха». (Точность вашего результата будет не выше 10–30 %, но для такой фундаментальной величины важна даже грубая оценка. Здесь дело в принципе, а не в точности.)

Задача 6. Закон Авогадро

Свыше века назад итальянский ученый Авогадро, предложив блестящую гипотезу, вывел химию из серьезного тупика. Авогадро предположил, что равные объемы разных газов содержат одной то же число молекул (при одной и той же температуре и давлении). Это позволило простым способом — взвешиванием равных объемов двух газов — сравнивать массы, молекул. Полученные результаты согласовались с данными других источников, и химики порывались рассматривать «гипотезу» Авогадро как «закон». Сейчас, применив равномерное распределение энергии, вы сможете доказать его. Допустим, что газы А и В при одинаковом давлении Р занимают равные объемы V (фиг. 90). Газ А состоит из N Aмолекул с массой m A, а газ В — из N Bмолекул с массой m B.

Напишите для каждого из газов предсказание кинетической теории PV= 1/ 3…, использовав равномерное распределение энергии, докажите равенство N A= N B, которое и составляет содержание закона Авогадро.

Фиг. 90. К задаче 6.

Задача 7. Химическая логика

Вот как закон Авогадро используется в химии. Если смешать равные объемы водорода (Н) и хлора (Сl), то вспышка света вызовет химическую реакцию (взрыв), в которой они, соединяясь, образуют новый газ — хлористый водород HCl (в водном растворе — соляная кислота). (Если первоначальные объемы не равны, то избыток одного из газов остается неиспользованным.)

Поэтому 1 л водорода и 1 л хлора дают 2 л смеси, а после взрыва — 2 л соединения хлористого водорода (когда газ остынет до первоначальной температуры).

а) Если 1 л водорода содержит N молекул, то сколько молекул содержит 1 л хлора?

б) Сколько образуется молекул соединения?

в) Разделив общее число исходных молекул на число молекул соединения, определите, сколько исходных молекул расходуется на образование одной молекулы хлористого водорода?

г) Что можно заключить о числе атомов водорода в молекуле газа водорода?

д) Дайте обоснование вашего ответа.

Задача 8. Предсказание удельной теплоемкости гелия

Не будем измерять удельную теплоемкость гелия, а, подобно фокуснику, «вытащим» ее из нашей «теоретической шляпы». Пусть тепловая энергия гелия равна кинетической энергии его молекул, так что:

1) Из PV= 1/ 3… следует, что полная кинетическая энергия всех N молекул N∙( 1/ 2 mv 2) должна быть равна ___

2) Предположим, что вся эта кинетическая энергия есть теплота, поглощенная газом при нагревании его от абсолютного нуля до той температуры Т , при которой он находится. Измерения газовым термометром показывают, что если газ находится при температуре тающего льда, это соответствует температуре 273 °C выше нуля. Полная масса газа равна N ∙ m , а повышение температуры равно 273 °C. Необходимая для нагревания теплота равна

МАССА ∙ Δ (ТЕМПЕРАТУРЫ) ∙ УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ

Комбинируя это с полученным выше результатом, найдите выражение для удельной теплоемкости через давление Р , объем V , массу Nm или М и т. д.

3) Примените это к гелию, используя следующие данные: 4 кг гелия при температуре таяния льда и давлении 1 атм (примерно 100 000 ньютон/м 2) занимают 22,4 м 3. Вычислите удельную теплоемкость гелия. Не забудьте, что вычисленная вами в п. 1 кинетическая энергия выражена в ( ньютон )∙( метр ), или джоулях , а теплота, вычисленная в п. 2, выражена в Калориях .

Прежде чем ответить на вопрос, выразите обе величины в одинаковых единицах (1 Кал = 4200 дж). ( Примечание . Вместо температуры тающего льда можете взять комнатную температуру 293 °C выше абсолютного нуля и объем 24 м 3)