Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Фиг. 99. От газа к жидкости.

Пример.

20 см 3жидкого воздуха превращаются в 15000 см 3обычного воздуха при комнатной температуре и атмосферном давлении. Следовательно,

D 3/ d 3= 15000/20 = 750, а D/ p= (750) 1/3 ~= 9 (с точностью до 1 %)

Среднее расстояние между молекулами воздуха равно стороне кубика, содержащего одну молекулу, т. е. D ~= 9 d . При атмосферном давлении молекулы воздуха удалены друг от друга на 9 или 10 диаметров. Это дает представление о количестве пустого места в газе и указывает на то, что наличие размеров молекул не очень мешает нашим простым теоретическим предсказаниям.

Задача 9

На сколько диаметров удалены друг от друга молекулы в цилиндре с воздухом, сжатом до 125 атм? ( Указание . При расстоянии 10/ 125диаметра молекулы еще не напоминают сельдей в бочке.)

2) Средняя длина свободного пробега . Сколько в среднем пролетает молекула между последовательными соударениями? Это расстояние, называемое средней длиной свободного пробега, не совпадает с расстоянием D . Если бы молекулы были точечными, они пролетали бы друг мимо друга, совершенно не сталкиваясь. Чем «толще» молекулы, тем большую мишень подставляют они под удар движущимся соседям, тем чаще происходят соударения.

Длину свободного пробега можно оценить, используя в качестве «метки» видимые пары брома. Повторим демонстрацию диффузии брома в сосуде c воздухом (см. фиг. 10, стр. 351), отмечая скорость продвижения бурых паров. Пустим секундомер в момент, когда жидкий бром выпускался на дно высокой трубки. Спустя некоторое время, скажем 500 сек, измерим среднее расстояние, на которое пары брома поднялись вверх. Для этого нужно решить, где смесь брома и воздуха в трубке выглядит «полубурой», т. е. вдвое более светлой; чем «совершенно бурый» газ непосредственно над жидким бромом, и измерить высоту этого места над поверхностью жидкости. Это, очевидно, приближенная и субъективная оценка, но если каждый наблюдающий опыт в аудитории сделает свою оценку, отклонение вряд ли превысит 10 % от средней высоты. Каждая молекула брома достигает своего конечного положения в результате огромного числа шагов «случайных блужданий» [221]. Чтобы воспользоваться оценкой высоты «полупобурения», нужна помощь статистики. Нам необходимо выражение для среднего продвижения при большом числе последовательных шагов длиной L в хаотических направлениях. Эта проблема называется задачей о «случайных блужданиях» (ее называют еще задачей о «пути пьяницы», the drunkard's walk). Согласно статистическим исследованиям, это число равно √ N , а ниже показано, как получить его в случае двух измерений. Все это справедливо и для трех измерений и полезно в некоторых физических задачах, таких, как выход фотонов из недр Солнца, диффузия нейтронов в «замедлителе» реактора, звучание поющего хора, а следовательно, и преимущество «согласованных» (когерентных) световых волн лазеров по сравнению со светом от горячего пламени или газа, где атомы «поют как нестройный хор».

Фиг. 100. Средний свободный пробег молекулы газа.

При атмосферном давлении средний свободный пробег гораздо больше расстояния D (Заштрихованная трубка показывает объем, заполняемый одной молекулой, движущейся среди остальных.)

Представьте себе случайное блуждание молекулы брома, мечущейся от столкновения к столкновению в толпе молекул воздуха. Мы считаем, что все ее прыжки имеют одинаковую длину, равную среднему свободному пробегу L . Если за время t каждая из молекул делает N шагов, то среднее перемещение равно √( N )∙ L . Число шагов подсчитаем так: полный ( спрямленный ) путь за время t равен vt , где v — скорость молекул брома. Число шагов на таком пути N= v ∙ t/ L. Следовательно, среднее перемещение S равно

S= √( N)∙L = √( v∙ t/ L)∙ L= √( v∙ t∙ L)

Оценка расстояния «полупобурения» дает S , так что, зная v , можно вычислить L . Как и для других газов, v получается из измерения плотности и давления паров брома. Для тяжелых паров брома при комнатной температуре [222]это дает: v = 210 м/сек.

Пример

Предположим, что группа наблюдателей определила высоту «полупобурения» 9 см над поверхностью брома за 500 сек. Спрямленный путь молекулы брома за это же время составил (210 м/сек)∙(500 сек), а число шагов на этом пути равно (210249500)/( Средний свободный пробег L ). Тогда среднее перемещение S определится так:

S= √(210∙500/ L)∙ L= √(200∙500∙ L)

т. е.

9/100 м = √(200∙500∙ L)

Следовательно,

L~= (81/10 4)/(210∙500) ~= 770∙10 -10м или 770 А°

Округленно средний свободный пробег молекул брома в воздухе можно считать равным 800 А°, и, по-видимому, не будет серьезной ошибкой считать таким же свободный пробег молекул воздуха в воздухе. (Если бы измерения дали в среднем 10 см вместо 9 см, то величина среднего свободного пробега составила бы 1000 А°, что подтверждает приближенный характер нашего результата.)

Таким образом, оценки для обычного воздуха показывают, что: 1) молекулы удалены друг от друга примерно на 9 диаметров; 2) средняя длина свободного пробега составляет примерно 800 А° (800∙10 -10м).

Средний свободный пробег и давление

Удалим теперь половину молекул из сосуда с газом. Этим мы вдвое уменьшим вероятность попадания и удвоим, таким образом, средний свободный пробег. В общем случае средний свободный пробег должен изменяться обратно пропорционально числу молекул в единице объема , или обратно пропорционально давлению . При высоком вакууме в одну миллиардную атмосферу средний свободный пробег будет в миллиард раз больше, т. е. 10 9∙800∙10 -10м, или 80 мк. Это значит, что в радиолампе молекула остаточного газа барабанит по стенкам, а другие молекулы газа редко попадаются на ее пути.

Диаметр молекулы. Соотношение πD 2L = D 3

Между средним свободным пробегом L и диаметром d существует однозначная связь: чем больше d , тем больше площадь мишени при столкновении и тем меньше длина свободного пробега. Можно показать, что π D 2 L = объему, который в среднем приходится на одну молекулу в газе, т. е. D 3. Геометрическое доказательство изложено ниже. Затем мы воспользуемся этим результатом для вычисления диаметра d из L и отношения объемов D 3/ d 3.

* * *

Вычисление случайных блужданий («путь пьяницы»)

Молекулы брома мечутся между молекулами, воздуха, получая удар за ударом и меняя направление после каждого из них. Насколько при этом им удается в среднем продвинуться вперед?