Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Образец подобного движения можно понаблюдать на примере пьяного человека, возвращающегося туманной ночью с вечеринки. Выпустив из объятий фонарный столб, он делает один шаг, затем забывает о нем и делает второй, но уже в другом направлении, забывает и о нем и делает третий шаг… и так далее — N шагов в совершенно произвольных направлениях. На какое расстояние он отдалится от спасительного фонарного столба? Он может вернуться опять к столбу или оказаться очень близко от него. Он может отойти от столба на N шагов (в том редком случае, когда все шаги устремлены в одном направлении), но это маловероятна. Его перемещение по прямой лежит между 0 и N шагами. Мы же хотим найти среднюю величину перемещения, усредненную по множеству таких продвижений, состоящих из N шагов.

Пусть человек вновь и вновь повторяет свою «прогулку» сначала. После каждой прогулки мы будем измерять его перемещение S . Усредним S по этим прогулкам. Для удобства будем искать среднее значение S 2, а затем извлечем квадратный корень, получив среднее квадратичное значение. Покажем, что это среднее должно приближаться к √ N шагов (Например, если за основу берем 100 шагов, то ожидаем, что человек уйдет только на 10 шагов от начального места.) Вот доказательство в двумерном случае (трехмерный случай рассматривается так же).

Нарисуем несколько первых шагов хаотического движения. Пусть длина каждого шага равна L , а всего имеется N шагов. Воспользовавшись координатами х и у , разложим первый шаг на компоненты х 1и у 1, второй шаг на компоненты х 2и у 2и т. д. Для первого шага х 1 2 + у 1 2= L 2, аналогично и для других шагов. Компоненты х и у перемещения S будут соответственно равны

( x 1+ x 2+… + x N)

и

( y 1+ y 2+… + y N),

S 2= ( x 1+ x 2+… + x N) 2+ ( y 1+ y 2+… + y N) 2 =

= х 1 2 + x 2 2+… + 2 х 1 x 2+ 2 х 1 x 3 +… + y 1 2 + y 2 2+… + 2 y 1 y 2+ 2 y 1 y 3 +… =

= L 2+ L 2+ НУЛЬ = N∙ L 2

«Смешанные слагаемые», наподобие 2 х 1 x 2, при усреднении по многим блужданиям дают нуль, ибо эти слагаемые могут одинаково часто быть как положительными, так и отрицательными и иметь величину от 0 до 2 L 2. То же справедливо и для «смешанных слагаемых» с у . Поэтому среднее значение S= √( N)∙ L

Доказательство станет нагляднее, если применит тригонометрию и разложить каждый шаг на горизонтальную и вертикальную компоненты: L ∙cos θ и L ∙sin θ . Тогда пара смешанных слагаемых, наподобие 2 L 2∙cos θ 1∙cos θ 2и 2 L 2∙sin θ 1∙sin θ 2, складывается в 2 L 2∙cos ( θ 1— θ 2), а косинус одинаково часто бывает как положительным, так и отрицательным, давая в среднем нуль.

* * *

При столкновении двух молекул расстояние между их центрами равно радиусу одной + радиус второй молекул, т. е. диаметру d . Для упрощения будем считать, что радиус одной из сталкивающихся молекул равен d , а вторая молекула — просто точка (фиг. 101).

Фиг. 101. Упрощенная геометрия свободного пробега.

Расстояние между их центрами при соударении прежнему будет d . Представим теперь, что мы стреляем точечной молекулой по системе из ячеек с ребром D , каждая из которых содержит по одной молекуле-мишени радиусом d (фиг. 102). Летящая молекула проходит первый ряд ячеек, но, вероятнее всего, не попадает в цель, которая находится где-то внутри ячейки.

Фиг. 102. Средний свободный пробег.

Точечная молекула пронизывает ячейки. Сколько должна она пролететь ячеек до соударения? Молекуле, нацеленной на переднюю грань площадью D 2, должно казаться, будто молекулы задних ячеек мишени заполняют своими кружочками площадью π D 2всю грань.

Другой способ рассуждений. Вместо «раздувания» молекулы-мишени можно выстрелить «раздутой» молекулой, сжав остальные молекулы в точки, когда площадь поперечного сечения летящей молекулы равна π d 2. Во время полета она заполняет трубку с таким поперечным сечением; при каждом столкновении эта трубка изгибается (фиг. 103).

Когда в такую «трубку» попадает молекула-мишень, происходит столкновение, а не попавшие в трубку молекулы остаются «за бортом». Между двумя последовательными соударениями молекула пролетает средний свободный пробег, так что заполненный объем равен

(ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ) ∙ (СРЕДНИЙ СВОБОДНЫЙ ПРОБЕГ),

или π d 2 L

Но заполняя этот объем, она сталкивается только с одной молекулой , так что этот объем равен также D 3, т. в. размеру ячейки, занимаемой одной молекулой газа. Следовательно, π d 2 L= D 3, или L= D 3/π d 2, как и выше.

Еще более простой метод. За счет более смелых предположений можно прийти к оценке d даже без всякой геометрии и «труб». Будем рассуждать так. Поместим некое количество обычного воздуха в высокий цилиндр. Нажмем на поршень и сожмем воздух в 750 раз, чтобы молекулы сгрудились столь же тесно, как в жидком воздухе. (Если хотите, охлаждайте воздух до тех пор, пока он не станет жидким). Сгрудившиеся молекулы служат лучшей мишенью, так как средний свободный пробег станет в 750 раз меньше. Попытаемся теперь догадаться, каков будет средний свободный пробег молекул в воздухе, сжатом до плотности жидкости. Сообразите-ка, сколько ячеек должна пролететь одна молекула, чтобы удариться о другую, учитывая при этом расстояние не от центра до центра, а от поверхности до поверхности . Это трудная задача.

Попытайтесь создать собственный метод и вот вам несколько наводящих соображений. Если бы среднее расстояние между соседними молекулами составляло один диаметр, то они сталкивались бы довольно часто, но все же свободного места оставалось бы еще столько, что они вели бы себя как газ, а не как жидкость. (Вспомните, что жидкости почти несжимаемы; давление в 20 000 атм сжимает воду лишь на 25 %.) Если же молекулы сгрудились настолько, что каждая проходит всего 1/ 10диаметра до столкновения с другой, то они практически оказались бы связанными, как в твердом теле. Изобразите молекулы кружками на бумаге или одинаковыми монетами на столе, посмотрите, какой средний свободный пробег соответствует расстояниям от 0,1 d до d .

Допустим, вы выбрали 3/ 4 d , тогда можно сказать:

Средний свободный пробег в тесноте L/750 = (3/10)∙ d

т. е.