Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

800∙10 -10/750 = (3/10)∙ d

следовательно,

d= 3,6∙10 -10м = 3,6 А°.

(Нетрудно получить правильный ответ, выбрав для среднего свободного пробега нужную долю d , но это нечестно. Честнее установить верхний предел или оценить пробег из представления о строении молекул, причем не следует забывать, что это лишь приближенная оценка.)

Итак продолжаем.

Сколько же слоев ячеек должна пройти молекула, чтобы можно было гарантировать одно соударение? Об этом говорит нам средний свободный пробег. Площадь лицевой грани ячейки равна D 2, но молекула-мишень «подставляет» под обстрел только «яблочко» площадью π d 2. Предположим, что до соударения молекула должна пролететь X ячеек. Она видит перед собой X «яблочек», которые, будучи рассыпаны совершенно случайно, не перекрывая друг друга, должны заполнять площадь «входного окна» D 2, т. е. Х∙π d 2= D 2, или Х = D 2/π d 2. Полный путь через эти ячейки равен X ∙ D , но, с другой стороны, он равен среднему расстоянию, пройденному между двумя соударениями, т. е. среднему свободному пробегу L :

СРЕДНИЙ СВОБОДНЫЙ ПРОБЕГ L= X∙ D= ( D 2/π d 2)∙ D= D 3/π d 2

или

Lπ d 2= D 3= 750∙ d 3

d = Lπ/750 = 800 A°∙3.14/750

Подставляя нашу оценку для L , получаем

d ~= 3,4 A°, или 3,4∙10 -10м

Наш частный пример дал величину d = 3,4 А°. Подобные соображения обычно дают значения между 2 и 7 А°. Мы уже говорили, что это «символическое» измерение, проверка принципа, которая показывает способ извлечения характеристик микромира (масштаба размеров атома) из макроскопических (масштаба человека) измерений и теории.

Читателю следовало бы самому проделать такой опыт и составить свою оценку. Точные измерения и совершенная теория дают величину 3,72 А°. Все же такая оценка, основанная на представлении о том, что молекула есть твердый шар, кажется искусственной. Однако она подтверждается более надежными оценками для массы и размеров молекул, основанными на методах, использующих значение заряда электрона, определенное в опытах Милликена. Мы будем считать отныне размер молекулы равным 3,72 А°, но записывать будем 3 3/ 4А°, отразив таким образом наши сомнения.

Расстояние между молекулами в воздухе будет тогда около 9∙3 3/ 4, или ~ 35 А°, так что для атмосферного воздуха получаются такие оценки;

∙ Размер (наибольшее сближение при столкновении)… 3 3/ 4А°

∙ Удаленность (среднее расстояние между соседями)… 35 А°

∙ Средний свободный пробег (между соударениями)… 600—1000 А°

∙ Скорость (средняя)… 500 м/сек

Более полное статистическое исследование приводит к среднему свободному пробегу 650 А°.

Задача 10

Исходя из данных приведенной ваше таблицы, вычислите количество соударений в секунду молекулы воздуха при атмосферном давлении.

Число молекул. Число Авогадро

Теперь можно вычислить число молекул воздуха в данном объеме, скажем в небольшой комнате 3 м х 2 м х 4 м, т. е. объемом 24 м 3. Каждой молекуле воздуха мы приписываем объем D 3, или 750∙ d 3. Тогда число молекул будет

24 м 3/750∙(3 3/ 4∙10 -10м) 3

или около 6∙10 26.

В такой небольшой комнате при комнатной температуре и атмосферном давлении заключено 600 000 000 000 000 000 000 000 000 молекул воздуха. Как утверждал Авогадро (см. задачу 6 , стр. 531), это число одинаково для любого газа при том же объеме; в честь ученого мы называем его числом Авогадро .

Мы выбрали этот объем [223]потому, что число килограммов воздуха и других газов в таком объеме оказываются очень полезной величиной: 2 кг водорода, 4 кг гелия, 32 кг кислорода, 44 кг СО 2. Ведь это же как раз относительные массы молекул по химической шкале (масса атома водорода = 1). Каждую такую массу в килограммах мы. называем киломолем [224](фиг. 104).

Фиг. 104. Киломоль.

Тогда один киломоль любого вещества содержит 6∙10 26молекул. (Здесь для краткости будем называть его молем.)

Даже когда воздух откачан очень хорошим насосом и получен «высокий вакуум», т. е. давление будет составлять, например, миллиардную долю атмосферы, то в комнате еще останется 600 000 000 000 000 000 молекул (6∙10 17).

Масса молекулы

Теперь можно вычислить массу отдельной молекулы. Наша комната объемом 24 м 3содержит 6∙10 26молекул, масса которых всех вместе составляет 28,8 кг. (Это определяется взвешиванием и измерением объема воздуха.) Таким образом,

Масса молекулы воздуха = 28,8/6∙10 26 = 4,8∙10 -26 кг

Если вместо воздуха взять водород, то масса 6∙10 26молекул будет равна 2 кг, а

Масса молекулы водорода = 2 кг/6∙10 26 = 3,33∙10 -27 кг

Зная из химических соображений [225], что молекула водорода состоит из двух атомов Н 2, мы заключаем, что

Масса атома водорода = 1,67∙10 -27 кг

Это масса «протона», которая будет очень важна для нас при подсчете энергии (см. гл. 43 [226]).

Молекулы и температура

По универсальной шкале газового термометра абсолютная температура измеряется произведением P ∙ V , так что, согласно определению, PV= RT, где R — постоянная величина. Если мы возьмем один моль газа, то независимо от его сорта R будет одной и той же.

Кинетическая теория дает

PV= 1/ 3 N∙ m∙ v ¯2= 2/ 3 N∙( 1/ 2 mv ¯2) = 2/ 3 E кин.

Следовательно,

Кинетическая энергия молекул = 3/ 2 PV = 3/ 2 RT

поэтому

Средняя кинетическая энергия одной молекулы = 3/ 2 RT/N= 3/ 2( R для одного моля газа / Число Авогадро для одного моля )∙ T= 3/ 2k∙ T

где k — газовая постоянная, отнесенная к одной молекуле.

Равномерное распределение энергии привело нас к одинаковой кинетической энергии для молекул любого сорта при одинаковой температуре Т , так что k — универсальная постоянная, одинаковая для молекул любого сорта [227].

Теперь можно придать температуре ясный и простой смысл.

Абсолютная температура характеризует среднюю кинетическую энергию любой молекулы . Это просто умноженная на 2/(3 k ) средняя кинетическая энергия. Мы считаем, что молекулы газа делятся своей кинетической энергией с молекулами стенок контейнера или шарика термометра по закону, похожему на закон равномерного распределения энергии.

Разделение изотопов урана

Чтобы выделить U 235диффузией UF 6, нам нужна пористая перегородка, которая отличала бы быстрые молекулы от медленных. Большие отверстия в перегородке не дадут никакого разделения. Молекулы газа пройдут через них как обычный поток, сталкиваясь друг с другом и приобретая из-за разности давлений дополнительный импульс. Смесь молекул будет проходить через перегородку, не меняясь. Маленькие поры в доли среднего свободного пробега позволяют молекулам проявить свою индивидуальность. Если поры длинные, то, прорываясь сквозь них, каждая молекула множество раз ударяется о стенки и поэтому быстрая молекула получает преимущество по сравнению с медленной. Поры перегородки должны быть гораздо меньше 1000 А°, но больше самих диффундирующих молекул, скажем 5–6 А° для UF 6. Диаметр их должен быть между 100 и 10 А° — требование необычное для технологов и изобретателей. Такие перегородки можно приготовить, например, в виде тонких пористых пластинок прессовкой металлического порошка. Они используются в огромном масштабе, разделяя килограммами U 235в системе каскада из нескольких тысяч стадий с автоматической перекачкой и системой контроля за ядовитыми парами UF 6. Изменение содержания изотопа напоминает рост суммы вклада в банке по сложным процентам в течение многих лет. Для разделения нужно множество стадий с перекачиванием молекул на вход предыдущей стадии (см. фиг. 18, стр. 360).