Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Фиг. 74. Те же две окружности, полученные вращением правильного многоугольника (в данном случае треугольника).

Вращение происходит вокруг центра, в плоскости треугольника. Вершины его будут лежать на внешней окружности, а стороны, скользя, образуют внутреннюю окружность.

Фиг. 75. Окружности, образованные рядом правильных многоугольников, разделенных внутренними и внешними окружностями.

Окружности можно подобрать так, чтобы их размеры соответствовали соотношениям размеров орбит планет. Однако даже при самом удачном выборе многоугольников не удается получить модели Солнечной системы.

Однако такие построения оказывались неудовлетворительными, и однажды он воскликнул: «Почему фигуры, помогающие получить орбиты в пространстве , должны быть плоскими? Надо пользоваться объемными фигурами». Он знал, что существует всего пять правильных многогранников. Греческие математики доказали, что их может существовать не более пяти. Попытавшись осуществить с помощью пяти таких многогранников систему из шести сфер, Кеплер нашел, что этим сферам будет соответствовать шесть определенных орбит.

Фиг. 76. Вторая гипотеза Кеплера.

Этот рисунок иллюстрирует схему Кеплера, который пытался так расположить правильные многогранники, чтобы получить наилучшее согласие с известными соотношениями размеров орбит различных планет.

Правильные многогранники

Сколько может существовать различных правильных многогранников?

Правильный многогранник — это геометрическое тело с одинаковыми правильными плоскими гранями, т. е.

— все ребра имеют одинаковую длину

— все плоские углы одинаковы

— все пространственные углы одинаковы

— все грани имеют одну и ту же форму

(на фиг. 77, а даны примеры многогранников, не удовлетворяющих этим требованиям). Например, куб — правильный многогранник.

Фиг. 77. Многогранники.

а— неправильные

Грани правильного многогранника могут представлять собой:

— равносторонние треугольники

— квадраты

— правильные пятиугольники

и т. д.

Опыт 1. Доказательство для граней, представляющих собой квадраты .Попробуйте построить угол правильного многогранника из нескольких плоских прямых углов.

Мы уже знаем, что каждый угол куба образуется пересечением трех его граней. Возьмите три квадратных куска картона, положите их на стол, затем попробуйте приподнять их, ухватившись за то место, где встречаются все три угла квадратов.

Квадратные куски картона образуют при этом трехгранный угол куба. Поэтому мы можем сделать правильный многогранник, каждый угол которого будет образован пересечением трех квадратных граней. (Нам понадобится еще три квадратных куска картона, чтобы сделать весь куб). Можем ли мы сделать иной правильный многогранник с одной или двумя, или четырьмя квадратными гранями, пересекающимися между собой?

Из одного квадрата мы не можем образовать многогранный угол.

С двумя квадратами мы получим лишь плоский двугранный угол.

С тремя квадратами мы получим трехгранный угол куба.

С четырьмя квадратами нельзя получить угол многогранника; их углы, смыкаясь, образуют плоскость.

Таким образом, с помощью квадратов можно построить лишь один правильный многогранник — куб.

Опыт 2.Попробуйте теперь образовать многогранник с помощью правильных пятиугольников . Сколько правильных многогранников можно получить, пользуясь гранями такой формы?

Попробуйте выполнить аналогичную задачу с шестиугольниками и другими многоугольниками. Попробуйте построить правильные многогранники с помощью треугольников.

Вывод.Только пять различных многогранников могут существовать в нашем трехмерном мире (фиг. 77, б ). (Обращаем ваше внимание на то, что для доказательств, которыми мы здесь пользовались, необходимы не только эскизы, сделанные карандашом, но и модели из картона.)

Фиг. 77. Многогранники.

б— правильные.

Казалось, что найдено чудесное объяснение того, почему существует только шесть планет. Строя систему планет, Кеплер начал со сферы для земной орбиты, построил вокруг нее додекаэдр так, чтобы его грани соприкасались со сферой, затем описал вокруг этого додекаэдра другую сферу так, чтобы она проходила через его вершины; на этой сфере должна была лежать орбита Марса; вокруг этой сферы он построил тетраэдр, затем сферу для Юпитера, затем куб, затем сферу для Сатурна. Внутри земной сферы он поместил еще два многогранника, разделенные сферами, чтобы получить таким образом орбиты Венеры и Меркурия. Относительные радиусы сфер, вычисленные на основе геометрии, находились в соответствии с известными в то время относительными радиусами орбит планет, и Кеплер был в восторге: « Огромную радость, которую я испытал от этого открытия, нельзя выразить словами. Я уже не жалел о потраченном времени и не испытывал усталости; я не боялся трудных расчетов, не считал проведенных за вычислениями дней и бессонных ночей, стремясь выяснить, соответствует ли моя гипотеза теории орбит Коперника, или же моя радость должна рассеяться как дым ».

Фиг. 78. Схема Кеплерас правильными многогранниками (заимствовано из его книги).

Относительные размеры орбит планет показаны шаровыми оболочками, отделяющими один многогранник от другого. Толщина этих шаровых оболочек подобрана таким образом, чтобы учитывался эксцентриситет орбит

Теперь мы знаем, что это был лишь случайный успех. В более поздние годы Кеплеру самому пришлось подгонять соотношения радиусов своих сфер, чтобы они соответствовали фактам, а когда спустя несколько столетий были открыты другие планеты, схема Кеплера оказалась совершенно несостоятельной [44] И сейчас имеется грубое эмпирическое правило, связывающее радиусы орбит друг с другом, так называемый закон Боде; но до недавних пор этому правилу не могли найти объяснения. . И все же этот «успех» привел Кеплера к дальнейшим великим открытиям.