Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

v 2 2= x v 2 2+ y v 2 2+ z v 2 2

для молекулы 3

v 3 2= x v 3 2+ y v 3 2+ z v 3 2

…

и т. д.

v N 2= x v N 2+ y v N 2+ z v N 2

Сложим все эти равенства:

( v 1 2+ v 2 2+ v 3 2+… + v N 2) =

= ( x v 1 2+ x v 2 2+ x v 3 2+… + x v N 2) +

+ ( y v 1 2+ y v 2 2+ y v 3 2+… + y v N 2) +

+ ( z v 1 2+ z v 2 2+ z v 3 2+… + z v N 2)

Фиг. 8. Составляющие скорости.

По теореме Пифагора v 1 2= x v 1 2+ y v 1 2+ z v 1 2

Разделив на число молекул N , получим среднее значение:

v ¯2= x v ¯2+ y v ¯2+ z v ¯2

Призовем теперь на помощь соображения симметрии и потребуем (игнорируя малые отклонения за счет гравитации), чтобы все три средних в правой части уравнения были равными; случайное движение большого числа молекул должно давать одно и то же распределение скоростей в любом направлении:

x v ¯2 = y v ¯2 = z v ¯2

т. е.

v ¯2= 3∙ z v ¯2

Чтобы получить давление на стенку сосуда, мы будем дальше рассуждать по аналогии с задачей 2 , используя x v — составляющую скорости молекул вдоль сосуда. (Именно эта составляющая скорости и нужна нам, ибо y v и z v влияют только на движение от одной боковой стенки к другой и не участвуют в передаче импульса нашим стенкам.) Поэтому вклад молекулы 1 в произведение ( давление )∙( объем ) будет m∙ x v 1 ¯2, а вклад всех N молекул будет

m∙( x v 1 2+ x v 2 2+ … + x v N 2), или m∙ N∙ x v ¯2

Но он равен m ∙ N ∙( v ¯ 2/3), так что

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = 1/ 3 N∙ m∙ v ¯2

Предсказания кинетической теории газов

Рассмотрение молекулярных столкновений и законы Ньютона привели нас к выводу, что

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = 1/ 3 N∙ m∙ v ¯2

Он напоминает закон Бойля. Множитель 1/ 3постоянен; N — число молекул — тоже постоянно (если они не улетают и не распадаются); m — масса молекул — постоянна. Поэтому если средняя скорость остается постоянной, то постоянно и 1/ 3 N ∙ m ∙ v ¯ 2, а следовательно, постоянно и p ∙ V , как обнаружил Бойль. Но остается ли неизменной скорость молекул? Сейчас мы не можем гарантировать это.

Но давайте на минуту забежим вперед и предположим , что молекулярное движение связано с тепловым состоянием газа и что при постоянной температуре средняя скорость молекул газа постоянна , как бы мы его ни сжимали [128]. Объяснение этого факта вы получите позднее, а сейчас примите его на веру. Сделав это, найдем:

Для газа при постоянной температуре произведение p∙Vпостоянно.

Более простая форма получится, если вместо объема изменять плотность : удвойте число молекул в том же сосуде, и давление удвоится.

Что это, удивительное объяснение закона Бойля? Едва ли удивительное. Мы вкладывали в него столько предположений, не упуская из виду желаемый результат, что он вряд ли может польстить нашему тщеславию. Теория, вобравшая столько предположений и предсказавшая один-единственный уже известный закон, и то при дополнительном допущении относительно постоянства температуры, вряд ли заслуживает внимания. Но наша теория — это только начало. Кроме того, она позволяет «объяснить» испарение, диффузию, внутреннее трение в газах. Она предсказывает, как ведет себя газ при сжатии, облегчает конструирование вакуумных насосов. Она приводит также к измерениям, подтверждающим законность наших предположений. Однако, прежде чем перейти к дальнейшему развитию теории, остановимся на вопросе: «на самом ли деле существуют такие штуки, как молекулы?»

Существуют ли молекулы?

«Самое страшное — это косвенные улики. Обвинитель имеет в своем распоряжении все средства для расследования. Он вскрывает факты и отбирает только те, которые, по его мнению, существенны. Но если он придет к заключению о виновности подсудимого, то для него существенными фактами будут лишь те, которые указывают на вину подсудимого. Вот почему косвенные улики — ложь. Сами по себе факты не имеют никакого смысла. Объяснение фактов — вот единственное, что принимается в расчет».

Эрл Станли Гарднер

«Дело о попугае — лжесвидетеле»

Сто лет назад молекулы казались полезным понятием. Это была плодотворная концепция, позволившая легко обнаружить закономерности у химических соединений и давшая толчок развитию простейшей теории газов. Но существуют ли молекулы на самом деле?

В те времена имелись лишь косвенные улики, которые делали эту гипотезу вероятной. Однако многие ученые были настроены скептически, а один великий химик вплоть до начала этого века даже настаивал на своем праве не верить в молекулы и атомы, хотя прямне экспериментальные доказательства появились довольно давно, примерно в 1827 г. Это было броуновское движение.

Броуновское движение

Шотландский ботаник Роберт Броун(1773–1858) сделал удивительное открытие — он увидел молекулярное движение. Рассматривая через микроскоп взвешенные в воде твердые частицы, он обнаружил, что они находятся в беспрестанном движении. Этот танец делал частицы похожими на живые существа, которые ни на минуту не прекращали своего движения. При нагревании танец убыстрялся, а после охлаждения замедлялся до первоначального темпа. Теперь мы знаем, что любые твердые частицы в жидкости будут участвовать в точно таком же беспорядочном танце, лишенном ритма и системы. Броун наблюдал результат столкновений молекул воды с твердыми частицами. Их толкали со всех сторон, как толкали бы слона, окажись он на футбольном поле во время матча.

Понаблюдайте сами за «броуновским движением». Посмотрите через сильный микроскоп на частицы сажи в воде. А еще проще, понаблюдайте в небольшой микроскоп за дымом. Наполните черный ящик дымом от сигареты или гаснущей спички и осветите его сбоку сильным светом. Дым рассеивает во всех направлениях голубовато-белый свет, часть которого попадает и в микроскоп. Под микроскопом дым представляется маленькими кусочками белого пепла, которые скачут туда и сюда в совершенно беспорядочном танце [129](см., например, фиг. 89, стр. 530).

Понаблюдав за частицами пепла, вы поймете, почему Броун сначала принял их за живые существа, но вы можете представить себе, что это движение возникает в результате хаотических ударов молекул воздуха. Сегодня мы не просто считаем, что так может быть, а уверены, что это именно так и есть, ибо способны вычислить действие этих ударов и проверить наши вычисления с помощью наблюдений. Если бы молекул воздуха было очень много и они были бы бесконечно малы, они бомбардировали бы большую частицу пепла симметрично со всех сторон и мы не смогли бы увидеть броуновского движения. Но, с другой стороны, если бы окружающий воздух состоял из небольшого числа больших молекул, то частицы пепла при ударе молекул совершали бы неожиданные дикие скачки. Ясно, что истина лежит где-то посредине: в сосуде имеется множество молекул, ударяющих частицу пепла со всех сторон много раз в секунду. За короткий промежуток времени в нее попадали с каждой стороны сотни молекул, но на одну сторону случайно приходится на несколько сот толчков больше, чей на другую, и частица заметно перемещается. Большие скачки редки, но несколько мелких перемещений в одном и том же направлении превращаются в наблюдаемый сдвиг. Детальные наблюдения и расчеты говорят о том, что под микроскопом мы наблюдаем именно эти результирующие сдвиги. Хотя отдельные перемещения слишком незначительны и мы их не можем разглядеть, все же можно оценить их скорость, записывая и анализируя большие отклонения.