Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

5) За время t сек молекула ___ раз ударится о переднюю стенку, передавал при каждом ударе импульс ___.

6) Таким образом, полное изменение импульса передней стенки из-за ударов одной молекулы за время t сек равно ___.

7) Но в сосуде находится N молекул, из которых ___ движутся взад и вперед. Полное изменение импульса передней стенки из-за ударов всех молекул в течение t сек равно ___.

8) Но F∙ t= Δ( импульса), т. е. F= Δ( импульса)/ t, а в нашем случае средняя сила, действующая на переднюю стенку сосуда на протяжении t сек, равна [126]___.

9) Давление = (сила)/(площадь), а площадь передней стенки равна ___.

Таким образом, среднее давление на переднюю стенку равно ___.

10) Объем сосуда равен ___.

Таким образом, произведение (давление)-(объем) = ___.

Но m — масса одной молекулы, а их всего N , так что полная масса газа в сосуде, М кг = ___ кг.

Подставляя М в написанное выражение, находим:

(давление)∙(объем) = ___.

11) Если мы работаем с закрытым сосудом, исключающим утечку газа, то масса М постоянна.

Предположим, что температура также поддерживается постоянной. Тогда опыты показывают, что средняя скорость v будет оставаться постоянной. Если объем изменяется, то, согласно п. 10, ___.

12) Если мы измеряем объем газа, скажем в колбе, его массу (взвешивая колбу с газом и после его удаления) и с помощью барометра давление, то п. 10 дает возможность получить очень важную информацию — вычислить величину ___, которая представляет ___ молекул.

13) Единицы измерения. Если в п. 12 объем брался в м 3, то массу нужно брать в ___, а давление должно измеряться в ___.

14) Из нашей теории получены два полезных предсказания: поведение газа п. 11 и заключение п. 12. Кроме того, получатся и другие результаты, но да все это нужно заплатить предположениями, которые легли в основу всего механизма. Выпишите на отдельном листе все предположения, сколько сможете,

а) относительно общих законов, применяемых к молекулам;

б) относительно предполагаемых свойств молекул, их поведения, размеров и т. д.

Трудности простейшей теории

Выражение, которое вы получили в задаче 2 , по-видимому, приводит к непрерывному давлению молекул на стенку, предсказываемому законом Бойля. Но как может град ударов молекул создать непрерывное давление? Разве что они будут сыпаться c такой частотой, что сольются в постоянную силу. Для этого молекулы газа должны быть очень малы и многочисленны. Если они малы, то любая твердая преграда наподобие стенок сосуда будет казаться массивной по сравнению с отдельной молекулой. Тогда при соударении стенка сглаживает передаваемые ей импульсы в постоянное давление, которое мы и наблюдаем. (Что бы вы увидели, если бы стенки сосуда были столь же легкими, как сами молекулы?)

В приведенных задачах предполагалось, что молекулы летят от одной стенки к другой, не сталкиваясь по пути друг с другом, а ведь они, разумеется, сталкиваются, и без дальнейшей информации мы не сможем сказать, насколько часто. Как это повлияет на наши предсказания?

Фиг. 6. Сглаживание ударов.

Заштрихованная площадь — полная величина F ∙Δ t .

Задача 3. Столкновения в простейшей теорпи

а) Покажите, что для простых рассуждений в задачах 1 и 2 не имеет значения, сталкиваются молекулы или нет. (Рассмотрите две молекулы, которые движутся взад и вперед, от одной стенки к другой и при встрече проходят друг над другом без соударения. Затем предположите, что они сталкиваются лоб в лоб и отскакивают назад. Почему их вклад в давление не изменится? Объясните это с помощью чертежа.)

б) Какие специальные предположения о свойствах молекул требуются для ответа на поставленные выше вопросы?

в) Предположим, что молекулы, стали очень большими (сохранив, однако, свою скорость, массу и т. д.). Как это повлияет на давление вследствие их соударений? Возрастет ли оно, уменьшится или останется прежним?

г) Дайте ясное обоснование вашего ответа на предыдущий вопрос.

Молекулярный хаос

Молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками совершенно случайным образом (лоб в лоб, под углом, вскользь) и поэтому не могут сохранять постоянную скорость v . Одни набирают скорость при соударениях, другие же теряют ее. Газ представляет собой хаос случайно движущихся молекул, скорости которых (при каждом соударении) могут изменяться в широких пределах. Но все же должно соблюдаться некое постоянство — ведь газ оказывает постоянное давление.

Выражение p∙ V= 1/ 3( N∙ m∙ v ¯2) вовсе не подразумевает, что все N молекул движутся с одной и той же скоростью и каждая дает вклад mv ¯ 2. Мы говорим, что молекула 1 движется со скоростью v 1, молекула 2 — со скоростью v 1и т. д, а молекула N — со скоростью v N. Тогда [127]

p∙ V= 1/ 3( mv 1 2+ mv 2 2+… + mv N 2) =

= 1/ 3[ m∙( v 1 2+ v 2 2+… + v N 2)] = 1/ 3 m∙( N∙Среднее v 2)

Следовательно, v 2в нашем выражении должно быть средним v ¯ 2. Именно поэтому мы ставим над ней черточку, обозначающую среднее значение. Так что теоретическая формула приобретает вид

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = 1/ 3 m∙( N∙ v ¯ 2)

Мы знаем, что если поместить газ в сосуд, то его давление с течением времени не будет прыгать вверх и вниз; давление и объем остаются постоянными. Следовательно, несмотря на все происходящие при столкновениях изменения, средняя скорость молекул v ¯ 2остается постоянной. Таким образом, теория уже помогла нам навести порядок в молекулярном хаосе — получить постоянную v ¯ 2.

Более элегантный вывод

Введение множителя 1/ 3 для большинства выглядит как искусственный трюк. Вот более элегантный метод, в котором скорости молекул складываются с помощью простейших правил статистики. Предположим, что молекула 1 движется в сосуде со скоростью v 1под углом к стенке (фиг. 7).

Фиг. 7. Другое рассмотрение движения молекул газа.

Каждая скорость v разложена на три составляющие xv, yv и zv, параллельные граням сосуда. Затем по xv 2вычисляется давление и мы приходим к тому же результату.

Разложим вектор v 1на три компоненты по осям х, у и z , параллельным стенкам. Тогда v 1будет результирующей компонент скоростей x v 1вдоль оси х , y v 1вдоль оси у, a z v 1, вдоль оси z . Поскольку оси взаимно перпендикулярны, то по теореме Пифагора

v 1 2= x v 1 2+ y v 1 2+ z v 1 2

для молекулы 2