Брайан Кокс - Почему Е=mc²? И почему это должно нас волновать

Давайте еще раз представим себе инцидент с лазером и будильником, но уже с учетом наличия некоторой предельной скорости. Другими словами, теперь мы не позволим лучу лазера бесконечно быстро перемещаться от космического корабля к нашему будильнику. Вернемся опять к рис. 7 и примем выстрел лазера за событие B . Если космический корабль выстрелит лазером (событие B ) незадолго до звонка будильника (событие O ), но с очень большого расстояния, то зеленые человечки никак не помешают мне проснуться, потому что лазерному лучу просто не хватит времени для того, чтобы преодолеть расстояние от космического корабля до моего будильника. Так будет в случае, если скорость луча лазера не превышает некоторого космического ограничения скорости. В этой ситуации события O и B называются причинно несвязанными.

Как показано на рис. 7, мы предполагаем, что событие B произошло незадолго до события O так, что оно находится в области правого «клина», «опасной» для принципа причинности. Различные наблюдатели могут не согласиться друг с другом в отношении того, происходит ли событие B до события O или после него, поскольку разные точки зрения соответствуют разному положению точки B на гиперболе, пересекающей пространственную ось из прошлого в будущее. Это неизбежно, но принцип причинности может быть сохранен в случае отсутствия какого-либо способа, каким событие B могло бы влиять на событие O . Иными словами, кого интересует, произошло ли событие B в прошлом или будущем события O , если это совершенно не играет никакой роли, потому что события B и O никак не влияют друг на друга? В пространстве-времени Минковского есть четыре области, отделенные друг от друга пунктирными прямыми, проведенными под углами 45 градусов к осям. Если мы хотим спасти принцип причинности, то любое событие, произошедшее в левой или правой четвертях, не должно иметь возможности послать сигнал, который бы мог достичь O .

Чтобы интерпретировать разделяющие линии, давайте еще раз посмотрим на пространственно-временн у ю диаграмму. Горизонтальная ось представляет расстояние в пространстве, а вертикальная – во времени. Следовательно, наклоненные под углом 45 градусов прямые соответствуют событиям, для которых расстояние в пространстве от O равно расстоянию от O во времени ( ct ). Как быстро должен перемещаться сигнал от O , чтобы он влиял на события, лежащие в точности на 45-градусной прямой? Понятно, что если событие отстоит от O на секунду в будущем, то сигнал должен пройти расстояние c · 1 секунду. Если событие отстоит от O на две секунды в будущем, то сигнал должен пройти расстояние c · 2 секунды. Иными словами, сигнал должен распространяться со скоростью c . Чтобы сигнал дошел от события B к событию O , он должен перемещаться со скоростью, превышающей скорость c . И наоборот, для любого события, лежащего между 45-градусными прямыми в верхней и нижней четвертях, возможно сообщение между ним и событием O с помощью сигнала, скорость которого не превышает c .

Наконец-то нам удалось интерпретировать скорость c : это предельная скорость во Вселенной. Ничто не может двигаться быстрее, поскольку это могло бы использоваться для передачи информации, которая бы привела к нарушению принципа причинности. Обратите также внимание, что если все наблюдатели сойдутся во мнении о расстоянии в пространстве-времени между двумя событиями, то они должны сойтись и насчет предельной скорости c независимо от их движения в пространстве-времени. Таким образом, скорость c обладает дополнительным интересным свойством: независимо от того, как движутся два разных наблюдателя, при измерениях они всегда должны получать одно и то же значение c . Скорость c сильно начинает напоминать другую особую скорость, с которой мы уже сталкивались в этой книге, – скорость света, хотя мы еще не доказали, что это одно и то же.

Наша исходная гипотеза все еще жива. Нам удалось построить теорию пространства и времени, которая, как нам кажется, способна воспроизвести физику, с которой мы столкнулись в предыдущей главе. Безусловно, существование универсального ограничения скорости подает надежды, особенно если мы сможем интерпретировать это как скорость света. У нас также есть пространство-время, в котором и пространство, и время больше не являются абсолютными и принесены в жертву абсолютному пространству-времени. Чтобы убедиться, что мы построили возможное описание мира, давайте посмотрим, сможем ли мы получить замедление движущихся часов, с которым сталкивались в главе 3.

Представьте, что вы вернулись в пресловутый поезд, сидите в вагоне и смотрите на свои наручные часы. Вам удобно измерять расстояние относительно вашего собственного положения, а время – с помощью часов. Ваша поездка от станции до станции занимает два часа. Так как вы не покидаете своего места в вагоне, вы перемещаетесь на расстояние x = 0. Этот принцип мы установили еще в начале книги. Невозможно определить, кто именно движется, а кто находится в состоянии покоя, так что для вас, сидящего в вагоне, вполне приемлемо решение считать, что вы неподвижны. Следовательно, для вас изменяется только время. Поскольку путешествие длится два часа, в вашем восприятии вы перемещались лишь во времени. Таким образом, в пространстве-времени вы переместились на расстояние s , которое определяется как s = ct , где t = 2 часа (так как измеренное вами расстояние в пространстве x = 0). Пока все просто. Теперь рассмотрим вашу поездку с точки зрения вашего друга, находящегося не в поезде, а сидящего где-то на земле (где именно, не имеет значения, главное, что он пребывает в состоянии покоя относительно дороги, по которой со свистом несется ваш поезд). Ваш друг предпочитает измерять расстояние относительно своего положения, а время – по своим часам. Для простоты предположим, что ваш поезд едет по идеально прямой дороге. Если вы проехали два часа со скоростью v = 100 км/ч, то ваш друг отмечает, что к концу путешествия вы преодолели расстояние X = vT . Мы используем прописные буквы для расстояния и времени, измеренного вашим другом, чтобы отличать их от расстояния и времени, измеренного вами (то есть x = 0 и t = 2 часа). По словам вашего друга, вы преодолели в пространстве-времени расстояние s , определяемое по формуле s ² = ( cT )² − ( vT )².

Далее следует очень важный момент: вы оба должны указать одно и то же расстояние для вашего путешествия в пространстве-времени. Согласно вашим измерениям, вы не двигались ( x = 0), а ваше путешествие заняло два часа ( t = 2 часа), в то время как ваш друг утверждает, что вы проехали расстояние vT (где v = 100 км/ч), а само путешествие заняло время T . Мы обязаны приравнять полученные расстояния в пространстве-времени и выводим уравнение ( ct )² = ( cT )² − ( vT )². При преобразовании оно дает T = ct ÷ √( c ² − v ²). Таким образом, несмотря на то что, судя по вашим часам, путешествие длилось два часа, по часам вашего друга оно продолжалось несколько дольше, а именно – в с ÷ √( c ² − v ²) = 1 ÷ √(1 − v ² ÷ c ²) раз, что в точности совпадает с тем, что мы получили в предыдущей главе, если принять, что c – не что иное, как скорость света.