Мичио Каку - Гиперпространство

Но если Гаусс сформулировал теорию многомерности, на 40 лет опередив всех, тогда почему же он упустил поистине историческую возможность избавиться от уз трехмерной евклидовой геометрии? Историки отмечают присущую Гауссу консервативность в работе, общественной и личной жизни. Он никогда не покидал пределов Германии и почти всю жизнь провел в одном городе. Это обстоятельство отразилось на его профессиональной деятельности.

В примечательном письме, написанном в 1829 г., Гаусс признавался своему другу Фридриху Бесселю, что никогда не опубликует свою работу, посвященную неевклидовой геометрии, из опасения, что она вызовет споры в кругах «беотийцев». Математик Морис Клайн писал: «Он [Гаусс] заявлял в письме к Бесселю от 27 января 1829 г., что, вероятно, никогда не опубликует результаты своих исследований этого предмета, поскольку опасается насмешек или, как выразился сам Гаусс, боится навлечь недовольство „беотийцев“, образно названных в память о недалеком греческом народе» («Математика и физический мир» (Mathematics and the Physical World, New York: Crowell, 1959, p. 449)). Гаусс так робел перед старой гвардией, узколобыми «беотийцами», свято верившими в три измерения, что предпочел сохранить в тайне лучший из своих трудов.

В 1869 г. Сильвестр в интервью с биографом Гаусса Сарториусом фон Вальтерсхаузеном писал: «Этот великий человек говорил, что отложил в сторону несколько вопросов, которые анализировал, и надеялся применить к ним геометрические методы, когда его представления о пространстве станут полнее; ибо если мы можем вообразить себе существа (подобные бесконечно плоским „книжным червям“ на бесконечно тонком листе бумаги), которым известно лишь двумерное пространство, нам под силу представить себе и существа, способные оперировать четырьмя и более измерениями» (процитировано в: Хендерсон «Четыре измерения и неевклидова геометрия в современном искусстве», с. 19).

Гаусс писал Ольберсу: «Я все больше убеждаюсь, что (физическую) неизбежность нашей (евклидовой) геометрии невозможно доказать, по крайней мере средствами человеческого разума и доступно для понимания человеческим разумом. Возможно, в другой жизни мы сумеем получить представление о природе пространства, которое сейчас остается для нас недосягаемым. А до тех пор нам следует ставить геометрию в один ряд не с арифметикой, как это делается априори, а с механикой» (процитировано в: Морис Клайн «Математическая мысль от древности до наших дней» (Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press, 1972), c. 872).

Гаусс относился к евклидовой геометрии с таким подозрением, что даже провел оригинальный эксперимент, чтобы проверить ее. Вместе с помощниками он поднялся на три горных вершины — Брокен, Хохехаген и Инзельсберг. С каждой из них были отчетливо видны две другие вершины. Построив между вершинами треугольник, Гаусс смог экспериментальным путем измерить его внутренние углы. Если евклидова геометрия верна, тогда сумма этих углов должна составлять 180°. К своему разочарованию, Гаусс обнаружил, что сумма углов действительно равна 180° (плюс-минус 15 минут). Примитивность измерительного оборудования не дала ему убедительно доказать, что Евклид заблуждался. (Сегодня нам известно, что этот эксперимент следовало проводить между тремя разными звездными системами, чтобы выявить значимые отклонения от евклидова результата.)

Следует также указать, что математики Николай Иванович Лобачевский и Янош Бойяи независимо друг от друга открыли неевклидову математику для изогнутых поверхностей. Но их построения ограничивались обычными низшими измерениями.

Процитировано в: Белл «Математики», с. 497.

Британский математик Уильям Клиффорд, который переводил знаменитую речь Римана для журнала Nature в 1873 г., разъяснил многие основополагающие труды Римана и был, вероятно, первым, кто развил его мысль о том, что искривление пространства вызывает возникновение электромагнитного взаимодействия, придав тем самым идеям Римана более четкую форму. Клиффорд высказал предположение, что эти два таинственных открытия в математике (многомерные пространства) и физике (электричество и магнетизм) — в сущности, одно и то же и что электромагнитное взаимодействие вызвано искривлением многомерного пространства.

Так впервые за 50 лет до Эйнштейна была высказана догадка о том, что сила — не что иное, как искривление самого пространства. Предположение Клиффорда о том, что электромагнетизм вызывают колебания в четвертом измерении, предшествовало работе Теодора Калуцы, который также пытался объяснить электромагнетизм высшими измерениями. Таким образом, Клиффорд и Риман предвосхитили открытия ученых XX в., догадавшись, что многомерное пространство способно дать простое и элегантное описание взаимодействий. Впервые было верно оценено истинное физическое значение высших измерений — как теории пространства, дающей нам объединяющую картину взаимодействий.

Эти пророческие взгляды были изложены математиком Джеймсом Сильвестром, который в 1869 г. писал: «Мистер Клиффорд позволил себе высказать примечательные предположения касательно способности человека на основании некоторых необъясненных явлений света и магнетизма сделать вывод о том, что наше трехмерное пространство подвергается воздействию пространства четырех измерений… аналогично бумаге, которую комкают» (процитировано в: Хендерсон «Четвертое измерение и неевклидова геометрии в современном искусстве», с. 19).

В 1870 г. в статье с интригующим названием «О пространственной теории вещества» Клиффорд напрямую пишет, что «эта разновидность искривления пространства — то, что в действительности происходит при явлении, которое мы называем движением материи, будь она осязаемой или неосязаемой». (Клиффорд Уильям «О пространственной теории вещества» (William Clifford, On the Space-Theory of Matter, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 2, 1876: 157–158).

А точнее, в условиях N измерений риманов метрический тензор g μν представляет собой матрицу NxN, определяющую расстояние между двумя точками, так что бесконечно малое расстояние между двумя точками дается выражением ds 2 = Σ dx μg μνdx ν. В ограниченном плоском пространстве риманов метрический тензор становится диагональным, т. e. g μν= δ μν, в итоге все формулы сводятся к теореме Пифагора для N измерений. Отклонение метрического тензора от δ μν, грубо говоря, показывает, насколько пространство отличается от плоского. На основании метрического тензора можно построить риманов тензор кривизны, представленный R β μνα .

Искривление пространства в любой данной точке можно измерить, нарисовав в этой точке окружность и измерив ее площадь. В плоском двумерном пространстве площадь круга равна πr 2. Но в условиях положительной кривизны, например, на сферической поверхности, эта площадь меньше πr 2. А если кривизна отрицательная и поверхность седлообразная или воронкообразная, площадь круга больше πr 2.