Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

3654:1365

дает в остатке 924

1365:924

дает в остатке 441

924:421

дает в остатке 42

441:42

дает в остатке 21

42:21

дает в остатке 0

Последнее число, на которое мы делим, а именно 21, и есть искомый наибольший общий делитель.

Алгоритм Евклида является систематической процедурой , которая позволяет найти этот делитель. Мы только что применили эту процедуру к двум конкретным числам, но она работает и в самом общем случае с произвольными числами. Для очень больших чисел эта процедура может занять много времени, и будет выполняться тем дольше, чем больше сами числа. Но в каждом конкретном случае выполнение процедуры в конце концов заканчивается, приводя за конечное число шагов к вполне определенному ответу. На каждом этапе мы точно представляем себе действие, которое должно быть выполнено, и точно знаем, когда получен окончательный результат. Более того, всю процедуру можно описать конечным числом терминов, несмотря на то, что она может применяться к любым, сколь угодно большим натуральным числам. («Натуральными числами» называются неотрицательные [40]целые числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11….) На самом деле нетрудно изобразить (конечную) блок-схему, описывающую логическую последовательность операций алгоритма Евклида (рис. 2.1).

рис 2.1

Нужно заметить, что на схеме эта процедура не до конца разбита на простейшие составляющие, поскольку мы неявным образом предположили, что нам уже «известно», как выполнять необходимую базовую операцию получения остатка от деления двух произвольных натуральных чисел Аи В. Эта операция, в свою очередь, также алгоритмична и выполняется при помощи хорошо знакомой нам со школы процедуры деления. Эта процедура, на самом деле, сложнее, чем все остальные части алгоритма Евклида, но и она может быть представлена в виде блок-схемы. Основное затруднение здесь возникает из-за использования привычной «десятичной» записи натуральных чисел, что вынуждает нас выписывать все таблицы умножения, учитывать перенос и т. п. Если бы для представления некоторого числа n мы использовали последовательность из n каких-нибудь одинаковых знаков, например, пяти звездочек (*****) для обозначения пятерки, то определение остатка свелось бы к совершенно элементарной алгоритмической операции. Для того чтобы получить остаток от деления Ана В, достаточно просто убирать из записи числа Апоследовательность знаков, представляющих В, до тех пор, пока на некотором этапе оставшееся число знаков в записи Ане станет недостаточным для выполнения следующего шага. Эта последовательность знаков и даст требуемый ответ. Например, желая получить остаток от деления 17 на 5, мы просто будем последовательно удалять ***** из *****************, как это показано ниже:

*****************

************

*******

* *,

и в результате получим, очевидно, 2, так как следующее удаление уже станет невозможно. Блок-схема изложенного выше процесса нахождения остатка от деления путем последовательных вычитаний приведена на рис. 2.2.

Рис 2.2

Чтобы придать блок-схеме алгоритма Евклида завершенный вид, мы должны подставить схему отыскания остатка в соответствующий блок справа в центре предыдущей схемы. Такая подстановка одного алгоритма в другой — распространенная в компьютерном программировании процедура. Алгоритм вычисления остатка, изображенный на рис. 2.2, служит примером подпрограммы , иначе говоря, это алгоритм (как правило, уже известный), вызываемый и используемый по мере надобности в ходе выполнения основного алгоритма.

Безусловно, обозначение числа n просто набором из n звездочек чрезвычайно неэффективно, когда речь заходит о больших числах. Именно поэтому обычно используют более компактную запись, например, стандартную (десятичную) систему. Однако оставим в стороне эффективность операций и обозначений и уделим все внимание вопросу о том, какие операции в принципе могут выполняться алгоритмически. Действие, которое поддается алгоритмизации в одной записи, сохранит это свойство и в любой другой. Эти два случая различаются только техническими нюансами и сложностью выполнения алгоритма.

Алгоритм Евклида — это лишь одна из многих, часто классических, алгоритмических процедур, встречающихся в математике повсеместно. Но, вероятно, не лишним будет отметить, что, несмотря на значительный исторический возраст отдельных алгоритмов, точная формулировка универсального определения алгоритма появилась только в двадцатом веке. В 1930-х годах было предложено несколько альтернативных формулировок этого понятия, из которых наиболее емкая и убедительная — и, к тому же, наиболее значимая в историческом плане — опирается на понятие машины Тьюринга. Поэтому нам будет полезно рассмотреть некоторые свойства этих «машин».

Прежде всего следует помнить, что «машина» Тьюринга принадлежит области «абстрактной математики» и ни в коем случае не является физическим объектом. Это понятие было введено в 1935–1936 годах английским математиком и кибернетиком Аланом Тьюрингом, внесшим огромный новаторский вклад в развитие компьютерной науки (Тьюринг [1937]). Тьюринг рассматривал задачу весьма общего характера (известную как проблема алгоритмической разрешимости), которая была поставлена великим немецким математиком Давидом Гильбертом частично в 1900 году на Парижском Конгрессе математиков (так называемая «десятая проблема Гильберта»), и более полно — на международном конгрессе 1928 года в Болонье. Проблема, поставленная Гильбертом, состояла ни больше, ни меньше как в отыскании универсальной алгоритмической процедуры для решения математических задач или, вернее, ответа на вопрос о принципиальной возможности такой процедуры. Кроме того, Гильберт сформулировал программу, целью которой было построение математики на несокрушимом фундаменте из аксиом и правил вывода, установленных раз и навсегда. Но к тому моменту, когда Тьюринг написал свою великую работу, сама идея этой программы уже была опровергнута поразительной теоремой, доказанной в 1931 году блестящим австрийским логиком Куртом Геделем. Мы рассмотрим теорему Геделя и ее значение в четвертой главе. Проблема Гильберта, которую исследовал Тьюринг (Entscheidungsproblem) , не зависит от какого-либо конкретного построения математики в терминах аксиоматической системы. Вопрос формулировался так: существует ли некая универсальная механическая процедура, позволяющая, в принципе, решить все математические задачи (из некоторого вполне определенного класса) одну за другой?