Joaquin Sandalinas - До предела чисел. Эйлер. Математический анализ.

[ 1Мы представляем мнемоническое упражнение на запоминание такой восхитительной постоянной, что Эйлер воскликнул: '!', когда впервые открыл ее, да. громко воскликнул '!'. Мои студенты, возможно, вычислят е. используют свои силы или ряды Тэйлора, простую формулу сложения, ясную, четкую, элегантную! (В данном случае подсчет действителен только для фразы на английском. — Примеч. ред.)]

Знак"!"обозначает ноль. Если мы сосчитаем количество букв в словах, то получим следующую последовательность:

271828182845904523 536028 747135 266249 7757,

которая соответствует первым 40 цифрам числа е.

Существуют три математические константы, которые резко выделяются на общем фоне и так или иначе связаны с Эйлером. Первая — это знаменитое число я, вторая — е. Третья обозначается греческой буквой у, и хотя Эйлер выделил ее уже в 1734 году, через три года после нахождения числа е, он делит это открытие с итальянским математиком Лоренцо Маскерони, так что у называют постоянной Эйлера —Маскерони. По мнению некоторых специалистов, это не совсем справедливо, поскольку самая большая заслуга Маскерони состояла в том, что в 1790 году он вычислил 32 ее знака, сделав при этом три ошибки: в 19-м, 20-м и 21-м знаках.

γ — сугубо арифметическая константа. Если мы рассмотрим древний гармонический ряд

Σ n=1 ∞1/n = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/n + ...,

то увидим, что он расходится, то есть предел его суммы стремится к ∞ (первое строгое доказательство этого приписывается Якобу Бернулли).

Эйлеру пришла в голову мысль сравнить возрастание этого расходящегося ряда с In n. Если провести вычитание

Σ n=1 ∞1/k = ln(n)

шаг за шагом, мы получим:

1 - ln1 = 1

1 + 1/2 - ln2 = 0,8068528...

1 + 1/2 + 1/3 - ln3 = 0,734721...

1 + 1/2 + 1/3 + 184 - In4 = 0,6970389...

Эта разность стабилизируется и в пределе дает постоянную величину:

γ = lim n→∞[Σ k=1 n1/k - ln n] = 0,57721566...

Целью Эйлера было найти способ описать степень роста гармонического ряда, и ученый пришел к заключению, что он логарифмический. Он обозначил эту постоянную заглавной буквой С, а знак греческой буквы γ, видимо, ввел Маскерони (1790). В 1736 году Эйлер высчитал 19 цифр этой постоянной, используя собственную формулу, так называемые числа Бернулли, Bn; если бы он попытался классическим путем сложить значения гармонического ряда и вычесть логарифм, то потерпел бы поражение, даже несмотря на то что был гением в вычислениях: ряд сходится слишком медленно.

Немецкий ученый Вейерштрасс открыл, что определение Г(х), предложенное Эйлером, дает производную

Г’(1) = -γ,

что позволяет установить неожиданную связь между гамма- функцией и постоянной Эйлера — Маскерони.

О константе γ почти ничего неизвестно, мы даже не знаем, рациональное это число или иррациональное и, разумеется, трансцендентное ли оно. Нам известно только, что если оно окажется рациональным — а большинство специалистов в это не верят, — то его знаменатель будет состоять из 244 663 цифр десятичной системы исчисления. Если воспроизвести это число, оно займет почти всю эту книгу.

Постоянная γ часто используется в анализе (например, в так называемых функциях Бесселя), а также в квантовой механике, особенно в перенормировке диаграмм Фейнмана, имеющих фундаментальное значение в электродинамике.

Однако не нужно далеко ходить, чтобы обнаружить γ. Если мы начнем собирать наклейки, прилагающиеся к жвачкам или шоколадкам, то наше хобби будет совершенно эйлеровским. Если в коллекции всего n наклеек, нам придется купить примерно N товаров, чтобы собрать их все:

N = n(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n).

Первым призванием Лоренцо Маске- рони, итальянского священника и математика (1750-1800), была поэзия.

Он не был горячим сторонником ни одной из существовавших тогда политических партий, но в общем его можно было охарактеризовать как франкофила. Поэтому в 1797 году его назначили депутатом в Милане, а затем отправили в Париж для разработки новой десятичной метрической системы вместе с Лежандром. Маске- рони больше не смог вернуться в Милан, оккупированный австрийскими войсками, и умер на следующий год.

В 1797 году он опубликовал свой шедевр в стихах — "Геометрия циркуля", — посвященный его другу Наполеону, который тоже увлекался математикой, о чем свидетельствует теорема, названная его именем.

В этой работе Маскерони доказал, что строгое требование древних греков делать геометрические построения только с помощью линейки и циркуля не такое уж обязательное: достаточно одного циркуля. Этот тезис, сегодня кажущийся нам очевидным, был удивительным для того времени. Первым это открытие сделал и опубликовал в Euclides Danicus ("Датский Евклид") в 1672 году датский ученый Георг Мор (1640-1697), но Маскерони об этом не знал. Свое право на бессмертие в математике Маскерони завоевал с помощью Эйлера своей книгой Adnotationes ad calculum integrate Euleri ("Заметки к интегральному исчислению Эйлера"), в которой нет существенных открытий, но содержится знаменитая постоянная γ. С этого момента у стала называться постоянной Эйлера — Маскерони.

В книге Маскерони содержится знаменитая задача Наполеона (считается, что сам Наполеон предложил ее математику). Она состоит в том, чтобы в данной окружности определить вершины квадрата, используя только циркуль.

Если мы попробуем решить эту задачу простым сложением, а наклеек достаточно много, то на это уйдет слишком много времени, и ошибок не избежать, даже используя калькулятор. Лучше применить способ Эйлера и сложить только два слагаемых:

1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = γ + ln n.

Постоянная у встречается гораздо реже, чем я или е. Несложно найти формулу, которая связывает все три постоянные:

Сам Эйлер тоже нашел взаимосвязи между у и дзета-функцией:

Существуют также формулы, связывающие напрямую ус простыми числами, как, например, формула Франца Мертенса (1840-1927):

где р — простые числа. Таким образом, в ней задействованы у, дзета- функция и простые числа. Нет сомнений, что третья постоянная Эйлера имеет большое значение, которое со временем будет только возрастать.