Joaquin Sandalinas - До предела чисел. Эйлер. Математический анализ.

F4 = 2 24 + 1 = 2 16+ 1 = 65 536 + 1 = 65 637.

Все они являются простыми числами. Следующее число Ферма выглядит так:

F5 = 2 25 + 1 = 2 32+1 = 4 294 967 296 + 1 = 4 294 967 297.

Было бы логично предположить, что оно, как и предыдущие, является простым. По стандартам того времени более рискованно, хотя и не намного, было выдвинуть гипотезу (как сделал Гольдбах) о том, что все эти числа простые, подтверждая тем самым мнение самого Ферма. Гольдбах сообщил Эйлеру об этой задаче в 1729 году, а в 1732-м тот уже нашел ее решение: F 5— не простое число, а составное:

F5 = 4 294 967 297 = 641 • 6700 417.

Первой реакцией на этот результат было изумление. Ведь чтобы провести факторизацию этого числа, деля его на 2,3,5,7, 11,13 и так далее, продолжая перебирать бесконечную последовательность простых чисел, требовались колоссальные усилия.

Ферма был юристом по профессии и занимался математикой исключительно как хобби, за что получил прозвище "король любителей". Он внес решающий вклад в создание аналитической геометрии, а также в развитие теории вероятностей и оптики, изучал отражение и преломление света и отнес эти явления к максимумам и минимумам, заложив таким образом основы дифференциального исчисления. Наибольшую известность Ферма принесли его исследования о теории чисел, в которых ярко проявились его удивительные способности и необычные методы работы. Обычно он не записывал свои рассуждения отдельно, а делал, пока хватало места, пометки на полях книг, которые читал. Всемирной известностью он обязан появлению теоремы, гласящей, что "для n > 2 не существует таких целых положительных чисел х, у, z, не равных нулю, для которых справедливо х n+у n=z n". Она известна как Великая теорема Ферма, и долгое время у нее не было доказательства. Ферма утверждал — хотя, вполне возможно, ошибочно, — что однажды во время чтения он нашел превосходное доказательство, но на полях книги не было достаточно места для его записи. Теорема была доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Если же рассмотреть приемы Эйлера подробней, можно понять его метод и, одновременно с этим, гениальность ученого. Постепенно, следуя по скользкому пути деления, Эйлер пришел к выводу — совсем не простому,— что любой делитель F 5должен иметь вид 64n + 1. Таким образом, ему больше не надо было проверять один за другим все простые делители, а только числа 65 (n = 1), 129 (n = 2), 193 (n = 3) и так далее, вычеркивая те, которые простыми не являлись. При n - 10 подсчеты дают 64 -10 + 1 = 641, что является точным делителем.

На сегодняшний день не найдено ни одного другого простого числа Ферма. Все новые, что нам известны,— это составные числа. Было доказано, что начиная с F 5до F 32— а это огромное количество — нет ни одного простого числа. Но это не означает, что они никогда не будут обнаружены. Вопрос об их существовании — всего лишь гипотеза, а в математике гипотезы считаются верными или ложными, только если находится их доказательство или опровержение.

Параллельно с работой над числами Ферма и все так же в рамках обширной переписки с Гольдбахом Эйлер дал имя математической константе, которая, как мы уже говорили в предыдущей главе, впоследствии стала основой его исследований по теории чисел: это постоянная е. Впервые она появилась под таким обозначением в одном из писем 1731 года. Вне всяких сомнений, это самая известная постоянная после л. Ее приблизительное значение следующее:

е=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995...

Сегодня известно более триллиона знаков е после запятой. Хотя Эйлер дал постоянной имя и использовал ее в самых разных областях, он не был ее первооткрывателем в строгом смысле этого слова: е появилась гораздо раньше, но под другим именем и "в тайне", как мы увидим ниже.

Число е родом из области логарифмов, как подчеркивал Эйлер. Эта связь, которую мы подробнее рассмотрим в приложении 1, ускользала от математиков на протяжении века. В защиту современников Эйлера можно сказать, что постоянная е с течением времени зарекомендовала себя как особенно неуловимая.

Одним из первых к ней приблизился Грегуар де Сен- Венсан (1584-1667), который в 1647 году обнаружил равностороннюю гиперболу, соответствующую уравнению у - 1/x, ее график в декартовой системе координат изображен на этой странице. Сен-Венсан вычислил площадь между 1 и любой другой точкой t на горизонтальной оси говоря современным языком, это площадь криволинейной трапеции между 1 и t.

Таким образом, получается, что

∫ 1 t(1/x)dx = lnt,

и при t = е мы имеем Int - Ine = 1. Следовательно, e равно значению на горизонтальной оси X, для которого площадь, указанная на графике, равна 1. Это определение впоследствии дал ей сам Эйлер, Сен-Венсан же так и не пришел к нему.

Христиан Гюйгенс (1629-1695) тоже не обратил на число е большого внимания, хотя в одном из рассуждений ему пришлось вычислить 17 знаков его десятичного логарифма. Но поскольку он был сконцентрирован на другом вопросе, то также проигнорировал число е.

Не прошел мимо него Якоб Бернулли, хотя он приблизился к е не через логарифмы, а следуя другому, более "земному" пути. В 1683 году Бернулли начал изучать сложные проценты по вкладу капитала. Мы можем проследить за его шагами, используя современную терминологию. Если мы делаем вклад, равный С, под годовой процент i, то в конце года сумма будет равна

C+Ci-C(1 + i).

Если бы проценты подсчитывались два раза в год, а не один, то надо было бы разделить их на 2 и начислять деньги дважды. За один год сумма капитала и процентов стала бы равна

C + Ci/2 + (C + Ci/2)i/2 = C(C + i/2) + C(1 + i/2)i/2 =

= C(1 + i/2)(1 + i/2) = C(1 + i/2) 2

Если повторить эту операцию n раз, то, следуя этой модели, капитал будет равен

C(1 + i/n) n.

При бесконечном повторении этой операции проценты будут начисляться каждое мгновение, и, используя современное понятие предела (независимо от величины i она не имеет значения в данной задаче), мы пришли бы к пределу

lim n→∞(1 + 1/n) n.

При проверке предела необходимо установить, что он существует и что к его значению можно приблизиться при помощи простого вычисления.

Якоб Бернулли без помощи современных вычислительных инструментов дошел до первых строк этой таблицы. Это поразительный результат для математики той эпохи. По его подсчетам, предел был бы между 2 и 3. Сегодня мы знаем, что