Joaquin Sandalinas - До предела чисел. Эйлер. Математический анализ.

n! = √(2πn)(n/e) n.

Но главным его достижением стала формула для комплексных чисел, которая в современной записи выглядит так:

(cosx + /sinx) n= cosnx + isinnx.

Де Муавр остался холостяком и жил в бедности, но с гордостью изгнанника вспоминал, что в 1754 году Парижская академия наук избрала его своим иностранным членом. Умер ученый в Лондоне, и говорят, что он предсказал день своей смерти. Якобы де Муавр заметил, что каждый день спит на 15 минут больше, и, произведя подсчеты, вычислил день, когда должен был проспать 24 часа: 27 ноября 1754 года. Так и оказалось.

Эйлер использовал формулу Муавра, не приведя никакого ее доказательства. Он совместил ее с другой формулой, названной его именем и созданной еще в Базеле (как мы видели в главе 2):

е ix= cosx + isinx,

и вывел, пользуясь простым правилом возведения в степень, выражение, которое сегодня мы записали бы так:

е х+iy= е х(cosу + isiny).

Эйлер пришел к этим результатам, а также к другим, имеющим огромную важность, отталкиваясь от простого ряда Тейлора:

ex = Σ n=0 ∞x n/n! = 1 + x + x 2/2! + x 3/3! + x 4/4! + ...

В приложении 5 мы более подробно объясним, как Эйлер вывел свою формулу из этого выражения.

Если мы подставим вместо х число π, то, по формуле Эйлера, получим:

e ix= cosπ + isinπ = -1 + i0 = -1,

а перенеся -1:

e ix+ 1 = 0.

Многие математики считают это уравнение, известное как тождество Эйлера, самым красивым в этой науке.

В Introductio in analysin infinitorum можно также обнаружить понятие логарифма в форме, позволяющей решить задачу отрицательных логарифмов, которая не давала Эйлеру покоя со времен его базельской юности. Он совершенно правильно определял их как результат операции, обратной возведению в степень:

a logº x= x.

а это значит, что логарифм в области комплексных чисел имеет бесконечное число значений, которые отличаются только четным произведением π, то есть 2kπ. В частности:

ln(-1) = iπ + 2kπ(k € Z),

что приводит нас к таким выражениям, как

i i= e ilni= e (-π/2)~ 0,2078795764.

В этой работе также впервые появляются число е, формула Муавра, ряд степеней sinx и cosx, понятие функции, несколько степенных рядов (а также представлено другое решение Базельской задачи) и так далее, объясняются и систематизируются начала аналитической геометрии, неразрывно связанной с анализом. Среди затронутых тем можно найти косоугольные и полярные координаты, преобразование координат, асимптоты, кривизну, пересечение кривых, касательные и многие другие. Подход Эйлера к этим понятиям не просто современен, он действительно соединил точки зрения Ньютона и Лейбница и объяснил раз и навсегда, что дифференцирование и интегрирование являются обратными друг другу действиями, двумя сторонами одной медали. В Institutiones calculi differentialis и Institutiones calculi integralis содержится первое исследование рядов, непрерывных дробей, дифференциальных уравнений, включая частные производные, максимумы, минимумы и так далее. Эйлер начал интеллектуальную схватку длиною в жизнь с числовыми рядами: никто не знал, сходятся ли эти бесконечные суммы, и если сходятся, то к чему. В некоторых случаях расхождение было очевидным, как, например, в так называемом гармоническом ряде:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... ,

который итальянский математик Пьетро Менголи сгруппировал так:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +

+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + ...

≥ 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... ,

показав, что его сумма бесконечна. Другие же вызывали недоумение. Рассмотрим пример:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

В таком виде кажется, что его сумма равна 0:

(1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0,

а если сгруппировать его так, то сумма равна 1:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1.

На самом деле оба результата неправильны. Эйлер, как и другие математики того времени, предпочитал исходить из известного ряда

1/(1-x) = 1 + x + x 2+ x 3+ x 4+ x 5+ ...

Подставив вместо х число -1, он пришел к

1/2 = 1/(1- (-1)) = 1 + (-1) + (-1) 2+ (-1) 3+ (-1) 4+ (-1) 5+ ...

= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.

то есть ни 1, ни 0: Эйлер утверждал, что сумма равна 1/2.

К арсеналу уже известных к тому времени рядов

Эйлер постепенно добавил много собственных результатов: решение Базельской задачи; формулу суммирования Эйлера — Маклорена, которая улучшала сходимость, если таковая наблюдалась; преобразование рядов через конечные и последовательные разности; а также важные открытия в области расходящихся рядов. Фактически, в 1755 году, то есть в эпоху, когда еще не существовало понятие предела, ученый уже различал сходящиеся и расходящиеся ряды. Среди рядов, суммированных Эйлером, мы находим

π/(3√3) = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + ...

π/(2√2) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ...

π/3 = 1 + 1/5 - 1/7 - 1/11 + 1/13 - 1/17 + ...

π 2/(8√2) = 1 - 1/3 2- 1/5 2+ 1/7 2+ 1/92 + ...

π 2/(6√3) = 1 - 1/5 2- 1/7 2+ 1/112 + 1/13 2+ ...

1 -1! + 2! -3! + ... = 0,596347362123...

Он также открыл два новых ряда. Один — данная последовательность степеней:

arxtgz = z - z3/3 + z5/5 + z7/7 + ... ,

а вторым был первый ряд Фурье в истории, который Эйлер описал в 1744 году в письме Гольдбаху, то есть задолго до того, как Жозеф Фурье (1768-1830) начал свои знаменитые исследования. И даже до того, как Фурье родился.

1/2x = sinx - 1/2 sin 2х + 1/3 sin Зx - ...

Вклад Эйлера в теорию чисел огромен, и его подробное изложение не является целью этой книги. Достаточно сказать, что только Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851) и Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887-1920) могут сравниться с ним по значению своих работ в этой области. Еще одним важным разделом математики, интересовавшим Эйлера, были дифференциальные уравнения. Здесь его самым знаменитым открытием, возможно, является метод Эйлера, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения первого порядка.

Эйлер, имевший серьезные проблемы со зрением, в России мог бы удалиться от дел и спокойно почивать на лаврах. Но он работал до самой смерти: глубоко исследовал теорию чисел, добился превосходных результатов в области простых чисел, чисел Мерсенна и чисел Бернулли, а также диофантовых уравнений и разбиения множеств. Он также успел уделить время игровой математике и даже написал несколько научно-популярных книг.

Причиной возвращения Эйлера в Россию в 1766 году стало желание императрицы Екатерины II вернуть Академии былую славу. Ученый никогда не терял связи с Россией, даже живя в Берлине. Хорошо известно, что он посылал в Санкт- Петербург множество статей, которые были логическим продолжением работ, впервые опубликованных именно в России. Ученый также постоянно получал вознаграждение от Российской империи за решение определенных задач, например военного характера, и оказывал протекцию молодым русским, приезжавшим учиться в Европу. За научный вклад в работу Петербургской академии Эйлеру в 1742 году, когда он еще был в Берлине, была назначена пенсия. Один любопытный исторический факт дает представление не только о подробностях второго путешествия Эйлера в Россию, но и о том, насколько не сложились его отношения с предыдущим покровителем. В одном из своих писем Фридрих сожалел об утере целого ряда личных записок ученого во время кораблекрушения, произошедшего по пути в Санкт-Петербург: "Какая жалость, ведь из этих записок могло бы получиться шесть томов трактатов, полных цифр от начала и до конца, а теперь, видимо, Европа лишилась такого приятного чтения".