Александр Филиппов - Многоликий солитон

введены обозначения X 1 = λ 1/λ 0, Y 1= v 1/ v 0, 1/ Y 1= u 1/ v 0, λ 1— интересующее нас значение длины волны, v 1— соответствующее значение фазовой скорости, определяемое формулой (6.9), а u 1= v 0 2/ v 1— значение групповой скорости.

Упражнение : выполните построение рис. 6.4. Покажите, что координаты точки А 1подчиняются соотношению (6.9), координаты точки С 1равны ω 0/ω 1и u 1/ v 0= v 0/ v 1, где ω 1— значение ω, соответствующее заданному значению λ = λ 1.

Полученный нами закон дисперсии очень часто встречается в самых разных физических явлениях, и стоит потратить некоторое время, чтобы как следует понять его. Особенно полезно представить его с помощью дисперсионной формулы

которая легко получается заменой в формуле (6.9) отношения v / v 0на (λω/λ 0ω 0).

Отсюда сразу видно замечательное свойство этого закона дисперсии — частота распространяющихся по цепочке волн всегда выше частоты ω 0, с которой колебался бы каждый атом цепочки вблизи своего положения равновесия, если бы он находился только под действием «подкладки». Физически очевидно, что частота ω 0достигается при очень большой длине волны, когда соседние атомы смещаются без изменения относительно расстояния (как твердое тело). При этом пружины настолько слабо деформируются, что их как бы и нет.

Другое свойство закона дисперсии (6.9) роднит его с гравитационными волнами на глубокой воде. Мы видим, что фазовая скорость v (λ) увеличивается с увеличением длины волны. Правда, эта зависимость несколько иная — скорость очень длинных волн на воде пропорциональна , а скорость волн смещения пропорциональна λ (при λ λ 0). Тем не менее можно считать, что природа прохождения дисперсии в обоих случаях качественно сходна. Во всяком случае, найденная нами дисперсия волн смещения в атомной цепочке не связана с ее дискретной структурой, которая может проявиться лишь при очень малых длинах волн, порядка постоянной решетки α .

При выводе закона дисперсии мы, в сущности, с самого начала пренебрегали дискретной структурой, предполагая, что α λ и α λ 0. Нетрудно проверить, что λ 0= 2π l 0(проверьте!). Поэтому при α λ 0будет также выполнено условие α l 0, т. е. размер дислокации l 0должен быть большим по сравнению с межатомным расстоянием. Отсюда ясно, что дефект по Френкелю, размер которого примерно равен α , нельзя описать с помощью изложенной здесь теории. Если, однако, не гнаться за точностью, то можно считать дефект по Френкелю просто дислокацией малого размера l 0, сравнимого с α . Описание при этом будет качественно правильным.

Если это не вполне понятно, нужно вспомнить начало предыдущей главы, где описаны колебания системы из двух и трех грузиков, соединенных пружинками. Эти колебания соответствуют стоячим волнам сплошной резинки (рис. 5.4 и 5.5), но только нельзя рассматривать волны с длиной, меньшей 2 α . Более точное описание дефекта по Френкелю можно найти с помощью исходного уравнения (6.1). Если пружины очень мягкие, т. е. если kα f 0, то существует равновесное состояние, в котором один из атомов смещен примерно на α , а все остальные смещены мало (попробуйте это проверить самостоятельно!). Это и есть дефект по Френкелю.

Раз уж мы вспомнили переход от цепочки атомов к сплошной среде, стоит написать, во что превратится при таком переходе основное уравнение (6.1). Как и при выводе уравнения Д'Аламбера, можно считать, что второй член в правой части перейдет в kα 2 y" . Переходя от y ( t , х ) к φ( t , х ) (вспомните вывод уравнений (6.4), (6.5), найдем в результате, что

Если ω 0= 0, то из этого уравнения получается уравнение Д'Аламбера.

К уравнению (6.11) приклеилось странное название — уравнение «синус-Гордона» . Происхождение этого жаргонного наименования связано с тем, что при значениях φ, мало отличающихся от π, т. е. φ = π + ψ, где оно переходит в уравнение

Это, а если говорить совсем точно, несколько более общее уравнение было предложено в 1926 г. Э. Шрёдингером, О. Клейном, В. Гордоном и В. А. Фоком, и обычно физики для краткости называют его уравнением Клейна — Гордона . Подобное стремление к укорочению названий породило и сочетание «синус-Гордона».

На самом деле уравнение (6.12) было известно уже в прошлом веке и называлось уравнением струны в упругой среде (действие упругой среды на каждый кусочек струны описывается членом в правой части уравнения). Уравнение (6.11) также встречалось математикам в конце прошлого века. Оно появилось в связи с исследованиями по геометрии Лобачевского *) и было известно лишь геометрам. Достаточно полное изучение решений уравнения (6.11) было выполнено лишь в 1936 г. немецким математиком Р. Штойервальдом. Он нашел решения, соответствующие (на нашем с вами языке) одному солитону, двум солитонам и бризеру. Эти результаты до самого последнего времени были известны лишь немногим специалистам по геометрии и не оказали никакого влияния на развитие науки о солитонах. Для физики уравнение «синус-Гордона» было открыто Френкелем и Конторовой, и они же нашли его солитонное решение. Связать эти открытия с их именами естественно и справедливо, хотя наиболее удивительные свойства модели ФК были обнаружены позднее другими исследователями. Как сказал Больцман: «Еще почти никогда... не бывало, чтобы та самая голова, которая впервые натолкнулась на ту или иную новую идею, до конца исчерпала бы ее».

*) Любому решению этого уравнения соответствует некоторая поверхность, на которой выполняются аксиомы геометрии Лобачевского. Такие реализации геометрии Лобачевского сыграли основную роль в признании его идей.