Александр Филиппов - Многоликий солитон

Вы, конечно, помните, что Кортевег и де Фриз получили свое уравнение при попытке найти точное математическое описание солитона Рассела с небольшой амплитудой. Теперь выясняется, что то же самое уравнение может описывать совершенно другие физические явления. Это, конечно, не случайно. Уравнение КдФ годится для математического описания самых разных нелинейных волн. На самом деле это простейшее уравнение для любых слабо нелинейных и слабо диспергирующих волн.

Если оба эти эффекта (нелинейность и дисперсия) настолько малы, что ими можно пренебречь, то уравнение КдФ описывает волны произвольной формы, бегущие в одном направлении. Иными словами, форма волны y ( t, х ) задается произвольной функцией у ( t, х ) = f ( x - v 0 t ). Для волн на мелкой воде v 0= , где h — глубина. Напомним, что воду можно считать мелкой, если минимальная длина синусоидальных волн (λ), входящих в разложение Фурье функции f , во много раз превышает глубину h . Чтобы не думать о разложении Фурье, можно просто считать, что волна имеет синусоидальную форму.

Если теперь допустить, что имеется малая дисперсия, т. е. что фазовая скорость v синусоидальной волны немного зависит от λ, то простейшая зависимость будет иметь вид (ср. с формулами (5.17), (5.21))

где α — некоторое число, а v 0= . Для уравнения КдФ, описывающего волны на мелкой воде, α = 2/3π 2. Однако для волн в других средах значение α будет другим, а величина h , имеющая размерность длины, будет иметь совсем иной смысл.

В гл. 5 мы уже сравнивали дисперсию длинных волн на мелкой воде и в цепочке упруго связанных атомов (формулы (5.21) и (5.17)) и убедились, что зависимость фазовой скорости от λ имеет при больших значениях λ один и тот же вид. Достаточно заменить h на 1/2α, где α — расстояние между атомами, и из закона дисперсии волн на воде получится закон дисперсии длинных волн в цепочке атомов. Зная этот удивительный факт, совсем не трудно додуматься и до того, что в других физических системах закон дисперсии длинных волн может быть таким же. Однако такая мысль многие десятилетия никому не приходила в голову. Может быть, это произошло потому, что волнами на воде и в кристаллах интересовались разные исследователи, может быть, по другим причинам... Во всяком случае, ясная идея о существовании такого универсального закона дисперсии длинных волн сформировалась совсем недавно, уже в эпоху общего увлечения солитонами.

Чтобы теперь понять — как устроены волны КдФ, нужно ввести простейшую мыслимую нелинейность. Мы знаем, что скорость линейных диспергирующих волн не зависит от амплитуды, а зависит лишь от длины волны. Скорость же распространения нелинейных волн зависит и от амплитуды. Самая простая зависимость — линейная, когда рост скорости прямо пропорционален увеличению амплитуды. Именно она и реализуется для волн КдФ, а будучи самой простой, естественно, встречается и во многих других физических системах. Забуски и Крускал обнаружили, что такая нелинейность хорошо описывает нелинейные взаимодействия атомов в решетке. Еще раньше, в 1958 г., советский физик Р. З. Сагдеев подметил аналогию между некоторыми волнами в плазме и волнами на мелкой воде и показал, что в плазме также могут распространяться уединенные волны. Плазмой в это время уже занимались многие физики, и это наблюдение не осталось незамеченным. Вскоре удалось показать, что эти волны в плазме также можно описывать с помощью КдФ-уравнения. Это решило судьбу КдФ-уравнения, которое было извлечено из забвения и стало известно широкому кругу физиков и математиков. Знаменитым оно стало после того, как 3абуски и Крускал выяснили, что оно описывает солитоны, которые не изменяются после столкновения друг с другом, и что можно найти его самое общее решение. Это удалось в 1967 г. американским ученым Гарднеру, Грину, Крускалу и Миуре. От их работы обычно отсчитывают начало бурного развития науки о солитонах.

Выглядит уравнение КдФ совсем не страшно. Форма волны y ( t, х ) в момент времени t должна подчиняться соотношению

Здесь точкой обозначена производная по времени при фиксированном значении координаты х , а штрихом — производная по координате в заданный момент времени t . Если нарисовать зависимость профиля волны у от координаты, то этот график будет двигаться и деформироваться с течением времени. При этом у определяет наклон касательной к графику в точке х в момент t , а — скорость движения точки графика у ( t, х ) по направлению оси у . Если в некоторый момент времени t нам известна зависимость у от х (в том числе и производные у' , y'' , у''' ), то уравнение позволяет найти скорости всех точек графика, так что можно приближенно определить его вид в следующий момент t + Δ t :

Решить такое уравнение — значит по начальному графику у (0, х ) найти вид графика y ( t, х ) в любой последующий момент времени. Точное решение этой очень непростой математической задачи оказалось одним из наиболее замечательных достижений математики, которое стало возможным благодаря тесному и плодотворному сотрудничеству физиков, математиков и использованию ЭВМ.

Нетрудно понять, что КдФ-уравнение описывает лишь волны, распространяющиеся в одном направлении вдоль оси х . Заметим сначала, что эффекты дисперсии определяются членом у" , а нелинейные эффекты — членом у 2. Если ими пренебречь, то получится совсем простое уравнение + v 0 y' = 0, которое мы обсуждали в гл. 5. Как оказалось, самое общее решение этого уравнения — любая функция от х - v 0 t , т. е. у ( t, х ) = f (х - v 0 t ). Чтобы найти зависимость у от х в любой момент времени, достаточно нарисовать график функции у = f ( х ) и двигать его со скоростью v 0( v 0 0) в положительном направлении оси х. Чтобы описать волну, бегущую в противоположном направлении, нужно взять другой знак перед v 0.