Александр Филиппов - Многоликий солитон

*) В конце 40-x — начале 50-x годов лекции о «загадке Тунгусского метеорита» были столь же популярны, как и лекции на тему: «Есть ли жизнь на Марсе?»

Возникновением ударной волны объясняется свечение метеоров (болиды). Светящаяся ударная волна появляется и при торможении спутников в атмосфере. Кстати, в этом случае ударная волна очень полезна — кинетическая энергия спутника уходит на ее образование, и спутник тормозится — ударная волна работает, как парашют. В популярной брошюре А. С. Компанейца «Ударные волны» (М.: ГИФМЛ, 1963), по которой интересующийся читатель может получить более полное представление об ударных волнах, рассказано о случае чудесного спасения советского военного летчика в годы второй мировой войны. Его парашют не раскрылся, и гибель казалась неизбежной. Однако в последний момент как раз под ним взорвалась авиационная бомба. Ударная волна этого взрыва затормозила его падение и спасла жизнь.

К сожалению, большинство исследований ударных волн связано с современным оружием и, откровенно говоря, автору не хочется писать об этом. Вернемся лучше к нашим мирным солитонам.

Посмотрим теперь, как дисперсия вместе с нелинейностью приводят к образованию солитона. Наш первоначальный горбик (кривая 1 , рис. 7.4) можно представить в виде суммы гармоник. Длина волны основной гармоники примерно равна удвоенной ширине горбика. Длины волн высших гармоник, сложение которых с основной приводит к образованию горбика конечной ширины, больше длины основной, а значит, они бегут вперед с большей скоростью. В результате увеличение крутизны переднего фронта, вызванное нелинейностью, смягчается, а при определенной форме и скорости горбика может полностью скомпенсироваться этим эффектом. Тогда-то и получается солитон. Если первоначальный горбик достаточно высокий, то он сначала может распасться на несколько горбиков, которые породят несколько солитонов. Если он очень низкий, то он просто расползется вследствие дисперсии.

Соотношение между эффектами дисперсии и нелинейности можно выразить с помощью простой формулы. Прежде чем написать ее, посмотрим на точное решение КдФ-уравнения, описывающее солитон,

Здесь v = v 0[1 + ( y 0/2 h )], а величина l определяется из соотношения

Это условие и выражает равновесие между эффектами нелинейности и дисперсии в солитоне. Хотя параметр S был известен уже Стоксу, его значение для теории солитонов было выяснено лишь в наше время.

Происхождение условия (7.2) можно понять, если вспомнить, что нелинейность увеличивает скорость движения вершины горбика на величину порядка v 0 y 0/ h , а дисперсия замедляет ее движение на величину порядка v 0 h 2/ l 2(напомним, что положение вершины горбика определяется основной гармоникой, длина волны которой примерно равна 4 l ). Эффекты нелинейности и дисперсии компенсируются, если эти добавки к скорости примерно равны, что и приводит к условию (7.2).

Если величина параметра S заметно больше единицы, то для достаточно плавного горбика высотой y 0и шириной 2 l основную роль будут играть эффекты нелинейности. Он будет деформироваться и скорее всего распадется на несколько солитонов. Если S 1, то преобладает дисперсия, и горбик постепенно «расплывается». При S 1 горбик по форме близок к солитону. Если его скорость близка к скорости солитона, то он слегка деформируется и через некоторое время превратится в настоящий солитон, форма которого определяется формулой (7.1).

Для читателя, не вполне освоившегося с гиперболическими функциями, напомним, что ch х принимает наименьшее значение при х = 0, ch (0) = 1. При возрастании функция ch х монотонно возрастает, так что ch 2(1) 2,4. Таким образом, вершина солитона расположена в точке х = vt , а величину 2 l можно считать его «шириной», на которой в основном сосредоточена переносимая им энергия. Часть солитона, расположенную на большом расстоянии от центра, иногда называют «хвостом» солитона. Центральную часть естественно называть «головой». В «голове» сосредоточено почти 90 % жидкости, поднятой солитоном над поверхностью.

В ч. I мы привели выражение для скорости солитона Рассела , на первый взгляд не совпадающее с полученным для точного решения КдФ-уравнения. На самом деле величина скорости солитона v = [1 + ( y 0/2 h )] не противоречит формуле Рассела. Нужно вспомнить только о сделанном предположении, что амплитуда y 0мала. Поэтому y 0/ h малая величина и

Вернемся теперь к численному эксперименту Забуски и Крускала с КдФ-уравнением. Приступая к нему, они уже были хорошо знакомы с солитонными решения (7.1) и с нелинейными периодическими волнами. Однако они довольно плохо представляли, как могут образовываться солитоны, и совершенно не знали, что произойдет, если солитоны столкнутся. Считалось, что солитоны либо распадутся при таком соударении, либо, в крайнем случае, могут образовать новый солитон, испустив некоторое количество нелинейных волн. Они поставили задачу примерно так же, как и Ферми, Паста и Улам. Задавали некоторое простое начальное возмущение поверхности воды у (0, х ) и наблюдали, что с ним происходило с течением времени (на самом деле они изучали волны не в воде, а в плазме, но это совершенно несущественно, коль скоро использовалось одно и то же уравнение КдФ). Для того чтобы ЭВМ могла справиться с задачей, нужно, конечно, изучать этот процесс не на всей бесконечной оси Ох , а на некотором конечном участке О х L . Чтобы не думать о том, что происходит на границе, проще всего замкнуть этот отрезок, т. е. решать задачу на окружности.

Проследим за эволюцией простой гармонической волны у (0, х ) = cos (2π х / L ), рассчитанной ЭВМ. Начальная форма поверхности изображена на рис. 7.6 штрихпунктирой линией.

Через некоторое время Т эффекты нелинейности приводят к тому, что образуется характерная ступенька (штриховая линия). Спустя время 2,5 Т эта ступенька порождает последовательность солитонов (сплошная линия), которые перенумерованы в порядке убывания их амплитуд. Все они движутся направо, причем солитон, пересекающий правую границу, тут же появляется слева: вспомним, что они движутся по окружности, и точки х = 0, х = L соответствуют одной и той же точке этой окружности (как «концы» экватора на карте земного шара). Первый солитон движется быстрее всех остальных. Он догоняет их и последовательно сталкивается с ними. Примерный график движения его вершины изображен на рис. 7.7. Ступеньки соответствуют столкновениям с другими солитонами. Видно, что после столкновения он сохраняет скорость, но как бы ускоряется в самый момент столкновения. Это явление было объяснено в гл. 2 по аналогии со столкновениями упругих мячей.