Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

С кривой Лаффера все в порядке, не совсем хорошо обстоит дело с тем, как ее используют. Последовавшие за дудочкой Ванниски политики стали жертвой старейшего ложного силлогизма, присутствующего в его книге:

Вполне возможно , что снижение налогов приведет к увеличению объема государственных доходов.

Мне хотелось бы , чтобы снижение налогов привело к увеличению объема государственных доходов.

Таким образом, это именно тот случай , когда снижение налогов приведет к увеличению объема государственных доходов [32] Ср. формализацию женской логики по Колмогорову: « Пусть [Р=>Q] и [Q приятно] ; тогда Р »; см.: В. А. Успенский . Лермонтов, Колмогоров, женская логика и политкорректность // Неприкосновенный запас. 2000. № 6 (14). Прим. М. Г. .

Наверное, вы не думаете, что вам нужен профессиональный математик, который объяснит, что не все линии прямые. Однако линейные рассуждения присутствуют повсюду. Вы прибегаете к ним каждый раз, когда утверждаете, что если хорошо иметь нечто, то лучше иметь этого еще больше. Именно так рассуждают политические крикуны: «Вы поддерживаете военные действия против Ирана? Тогда, полагаю, вы предпочли бы осуществить сухопутную операцию против любой страны, которая лишь косо посмотрит в нашу сторону !» В то же время звучит и такое: «Хотите поддерживать взаимодействие с Ираном? Наверное, вы также считаете, что и Адольфа Гитлера просто неправильно поняли ».

Почему такие рассуждения столь распространенны? Ведь даже малейшее умственное усилие с нашей стороны позволит осознать их ошибочность. Почему вообще у кого бы то ни было может хотя бы на мгновение возникнуть мысль, что все линии прямые, когда совершенно очевидно обратное?

Одна из причин заключается в следующем: в каком-то смысле они действительно прямые. История эта начинается с Архимеда.

Чему равна площадь данного круга?

В современном мире это настолько стандартная задача, что ее можно включать в SAT [33] SAT (Scholastic Assessment Test, букв. «академический оценочный тест») – отборочный экзамен для выпускников школ на определение академических способностей. Прим. М. Г. . Площадь круга равна π r ², а в нашем случае радиус равен 1, значит, площадь этого круга равна π. Однако две тысячи лет назад вопрос был открытым и настолько важным, что привлек внимание Архимеда.

Почему вопрос площади окружности оказался настолько сложным? Во-первых, на самом деле древние греки не считали π числом, как считаем мы. В их понимании все числа были целыми, то есть такими, с помощью которых можно что-то подсчитать: 1, 2, 3, 4… Однако теорема Пифагора [34] Кстати, нам неизвестно, кто первым доказал теорему Пифагора, хотя ученые почти убеждены, что это был не Пифагор. На самом деле, помимо засвидетельствованного современниками факта существования некоего ученого мужа с именем «Пифагор», жившего и обретшего славу в VI веке до нашей эры, мы ничего о нем не знаем. Основные сведения о жизни и работе Пифагора появились лишь через 800 лет после его смерти. К тому времени реального человека Пифагора полностью затмил миф о Пифагоре, вобравший в себя философские учения мыслителей, называвших себя пифагорейцами. – первый большой прорыв в древнегреческой геометрии – превратила всю их систему счисления в руины.

Перейдем к следующему рисунку.

Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы (сторона прямоугольного треугольника, которая нарисована здесь по диагонали и не проходит через прямой угол) равен сумме квадратов двух других сторон, или катетов . В данном примере квадрат гипотенузы равен 1² + 1² = 1 + 1 = 2. Это означает, что гипотенуза длиннее 1, но короче 2. Проверяется без всяких теорем – просто на глаз. Сам факт, что длина гипотенузы не представляет собой целое число, не был проблемой для древних греков. Может быть, мы просто измеряли все не в тех единицах. Если мы выберем такую единицу длины, чтобы длина катетов была равна 5 единицам, тогда вы с помощью линейки легко проверите, что в таком случае длина гипотенузы составит почти 7 единиц. Почти – но все-таки немного больше, поскольку квадрат гипотенузы равен:

5² + 5² = 25 + 25 = 50,

но если длина гипотенузы составляла бы 7 единиц, квадрат гипотенузы был бы равен 49.

А если мы взяли бы катеты длиной 12 единиц, длина гипотенузы была бы равна почти 17 единиц, но все же немного короче, поскольку 12² плюс 12² равно 288, что незначительно меньше чем 17², равное 289.

Примерно в V столетии до нашей эры один из представителей пифагорейской школы сделал потрясающее открытие: не существует способа измерить равнобедренный прямоугольный треугольник таким образом, чтобы длина каждой его стороны представляла собой целое число. Современный человек сказал бы, что «квадратный корень из 2 – это иррациональное число», то есть число, которое нельзя представить в виде соотношения двух целых чисел. Но пифагорейцы так не говорили. Разве могли они сказать нечто подобное? В основе их представлений о количестве лежала идея о соотношении целых чисел. Следовательно, в их понимании длина гипотенузы, как оказалось, вообще не есть число .

Это повлекло за собой неразбериху. Вы наверняка помните, что пифагорейцы были крайне своеобразными людьми. Их философия представляла собой рагу из суждений, часть которых мы назвали бы математикой, часть – религией и оставшуюся часть – психическим расстройством. Пифагорейцы были убеждены, что нечетные числа символизируют добро, тогда как четные – зло, что по ту сторону Солнца находится планета Антихтон (Антиземля, Противоземля), а также что нельзя есть бобы, как писали некоторые, потому, что в них находятся души умерших. Ходили слухи, будто Пифагор разговаривал с домашним скотом (он велел животным не есть бобы), а также что он был одним из немногих древних греков, носивших штаны {22} 22 См.: Christoph Riedweg . Pythagoras: His Life, Teaching, and Influence. Ithaca; New York: Cornell University Press, 2005, p. 2. [35] Российским ученым известно со школы, что пифагоровы штаны во все стороны равны. Прим. М. Г. .

Математика пифагорейцев была неразрывно связана с их идеологией. Легенда (которая, возможно, не совсем соответствует действительности, но дает правильное представление о пифагорейском стиле) гласит, что первым пифагорейцем, открывшим иррациональность квадратного корня из 2, был человек по имени Гиппас; в награду за доказательство этой отвратительной теоремы соратники бросили его в море, где он и утонул.