Евгений Елизаров - Основы организации мышления, или Сколько будет 2+2

(Мы произнесли слово «организация», и нам еще предстоит увидеть далеко не однозначную связь этого понятия с тем отмеченным выше обстоятельством, что каждое явление подчиняется всем законам природы, увидеть что, может быть, именно здесь скрывается самая глубокая тайна и нашего познания и всеобщего развития.)

Таким образом, если «изъять» из нашего интеллектуального багажа все те неопределяемые общие представления об окружающем мире, которыми мы, сами того не замечая, постоянно пользуемся, немедленно рассыплется все, как рассыплется вся геометрия (и не одна только она!), если вдруг исключить из нее постулаты и аксиомы Евклида, древнегреческого математика, работавшего в Александрии в III веке до нашей эры и умершего где-то между 275–270 годами.

Именно с них начинается самый знаменитый в истории математики трактат. Сам Евклид называет их аксиомами, но разбивает на два списка. По сложившейся традиции, первый, состоящий из пяти положений, получает название постулатов, второй, из девяти, – аксиом. К слову, они стоят того, чтобы привести их здесь, где говорится об основоположениях правильно организованной мысли. Они еще пригодятся для постижения всего того, что кроется в тайне искомого нами ответа.

Постулаты. Допустим:

1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то, неограниченно продолженные, эти прямые встретятся с той стороны, где [внутренние] углы [в сумме] меньше двух прямых [углов].

Аксиомы:

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые [т. е. суммы] будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства. [22] Цит. по Успенский В.А. Что такое аксиоматический метод? – Москва – Ижевск, 2001. – С. 7. (То есть не могут замкнуть собою никакую часть пространства).

К слову, первым, кто заговорил о том, что получение даже самого простейшего знания (разумеется, речь идет только о новом, ранее недоступном человеку) связано с действием скрытых механизмов сознания и подсознательными же представлениями о фундаментальных началах нашего мира, был тот же Кант. Согласно его учению, все истины математики опираются на внутреннее созерцание пространства и времени. Именно они, – говорится в «Пролегоменах», – являются теми началами, которые чистая математика кладет в основу своих суждений: геометрия кладет в основу чистое созерцание пространства, арифметика создает понятия своих чисел последовательным прибавлением единиц во времени. [23] Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей возникнуть как наука / И. Кант // Собр. соч. Т. 4. Ч. 1. – М., 1965. То и другое существуют для нас только как врожденные, данные нам до всякого опыта реалии нашей собственной психики; все вокруг нас можно представить исчезнувшим – пространство и время останутся с нами даже после этого. «Пространство есть необходимое <���…> представление, лежащее в основе всех внешних созерцаний. Никогда нельзя себе представить отсутствие пространства, хотя нетрудно представить себе отсутствие предметов в нем». [24] Кант. Критика чистого разума. – М., 1994. – С. 130. «Оно должно быть первоначально созерцанием <���…> это созерцание должно находиться в нас a priori, т. е. до всякого восприятия предмета <���…>, все геометрические положения <���…> например положение, что пространство имеет только три измерения <���…> не могут быть эмпирическими». [25] Там же. С. 132–133. То же говорится и о времени: «Время есть необходимое представление, лежащее в основе всех созерцаний. Когда мы имеем дело с явлениями вообще, мы не можем устранить само время, хотя явления прекрасно можно отделить от времени. Следовательно, время дано a priori. <���…> Все явления могут исчезнуть, само же время <���…> устранить нельзя». [26] Там же. С. 138.

В общем, простое и очевидное (что может быть проще «двух» и «двух»?), как только мы начинаем задумываться, погружает нас в какие-то неведомые глубины…

Таким образом, мы видим, что анализ на первый взгляд совсем не сложной интеллектуальной задачи – определения общего основания складываемых величин – требует предельного напряжения абстрагирующей мысли. Но все-таки продолжим и попытаемся обдумать то, что было сказано немецким мыслителем. Ведь без этого, как обнаруживается, никакой гарантии безупречности доказательств быть не может.

Строго говоря, Кант не был первым, кто заговорил о том, что назначение логики не может и не должно сводиться к доказательству или опровержению наших суждений. Главная задача познания – это открытие нового, ранее неизвестного человеку, и этот инструмент мысли обязан служить, прежде всего, раздвижению интеллектуальных горизонтов.

О правилах постижения истины, иными словами, о методе познания, задолго до Канта говорили Френсис Бэкон (1561–1626), английский мыслитель, политический деятель, и Декарт, латинизированное имя – Картезий (1596–1650), французский философ и математик, учения которых составили ключевые вехи формирования европейской науки. Но до появления «Критики чистого разума» порождение новых знаний уподоблялось строительству египетских пирамид: прежде всего – капитальная подготовка основания, затем – воздвижение первого яруса, за ним – опирающегося на первый второго, третьего, четвертого и так далее до венчающего всю конструкцию ослепительного пирамидиона, камня пирамидальной формы, который устанавливался на самой вершине и который в нашем примере мог бы символизировать собой «абсолютную истину в последней инстанции». Все в любой теоретической конструкции обязано опираться на твердо установленные факты и безупречно доказанные выводы; и, в том случае, когда «швы» между блоками не оставляют места даже для лезвия ножа, результату можно и должно доверять. Словом, «отбросим все невозможное, и то, что останется, будет ответом, каким бы невероятным он ни казался». Символом этого процесса стало понятие вычисления, расчета, дедукции (от deductio – выведение).

К слову. В классической логике существуют два основных метода, которые до некоторой степени противопоставляются друг другу – дедукция и индукция. Первая означает переход от общих положений, законов и т. п. к частному конкретному выводу; ее посылками являются аксиомы, постулаты или просто гипотезы, которые имеют характер общих утверждений, а выводом – следствия из посылок, теоремы («частное»). Например: все люди смертны, Я – человек, следовательно, смертен и я. В отличие от него, второй способ рассуждения от частных фактов, положений восходит к общим выводам. Например: солнце всходило вчера, позавчера, поза… поза… позавчера, следовательно, оно взойдет завтра, послезавтра… в любой следующий день. Впрочем, чаще всего оба метода действуют одновременно, и стерильной чистоты каждого из них нет. Так, серия частных наблюдений позволяет сделать общий вывод, но этот (индуктивный) вывод опирается на чисто дедуктивное умозаключение: поскольку утверждение верно для всей серии наблюдений, оно обязано быть справедливым и для данного и для предстоящего случая. В свою очередь, любое общее утверждение в дедукции армировано результатом каких-то предшествующих индукций: все мужики – сволочи, [все] деньги не пахнут… Даже здесь, в империи формальной логики, мы видим то же единство противоположностей, каждая из которых открывает более глубокое понимание природы вещей. Другими словами, все то же, что открылось Рафаэлю…