Терри Пратчетт - Наука Плоского мира. Книга 4. День Страшного Суда

Пространство Флатландии подчиняется традиционной евклидовой геометрии, с которой Эббот пересекался ещё в школе и, похоже, они друг другу не приглянулись. Чтобы избавиться от ограничения, обусловленного формой пространства, нам понадобится более общая модель, изобретённая, по всей видимости, великим математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Он составил изящную формулу для вычисления кривизны поверхности, то есть определения кривизны поверхности в произвольно заданной точке. Эту формулу Гаусс полагал одним из наиболее выдающихся своих достижений, называя её theorema egregium — «замечательной теоремой». Замечательно в ней прежде всего то, что она не зависит от характера вложения поверхности во вмещающее пространство. Эта формула описывает сущность самой поверхности .

Звучит, может быть, не слишком впечатляюще, но на деле из этого следует, что пространство может быть изогнутым само по себе, а не под действием внешних причин . Вообразите сферу, парящую в трёхмерном пространстве. То, что предстаёт перед вашим мысленным взором, определённо искривлено. Подобный взгляд на кривизну естественен для человеческого воображения, однако он предполагает наличие окружающего пространства, внутри которого будет искривляться сфера. Формула Гаусса не оставляет камня на камне от этой идеи: она доказала, что искривление сферы можно обнаружить, не покидая её поверхности. Чтобы иметь направление для искривления, поверхности не требуется окружающее пространство, становящееся, таким образом, несущественным.

По словам биографа Гаусса, Сарториуса фон Вальтерсхаузена, великий математик имел привычку объяснять свою мысль, прибегая к образу муравья, ползущего по некой поверхности. По мнению такого муравья, кроме неё ничего не существует. Тем не менее, блуждая по поверхности с рулеткой (хорошо-хорошо, Гаусс не упоминал ни о каких рулетках, но не будем пуристами), муравей может сделать логический вывод о том, что его вселенная искривлена. Не обязательно изогнута вокруг чего-то, а просто искривлена.

Все мы когда-то учили в школе, что, согласно евклидовой геометрии, сумма углов любого треугольника равна 180°. И это верно, но только для плоской поверхности, а не для искривлённой. Возьмите глобус и нарисуйте на нём треугольник, начиная с Северного полюса и вниз до экватора, затем вдоль экватора на четверть его длины, после чего обратно назад к Северному полюсу. Стороны такого треугольника окажутся дугами на сфере. По аналогии с прямыми линиями эти дуги будут кратчайшими путями между двумя заданными точками на поверхности . Все углы этого треугольника получатся прямыми, то есть равными 90°, а их сумма будет составлять не 180°, а 270°. А что такого, спросите вы, ведь сфера не плоскость? Однако данный пример показывает нам, как, измеряя треугольники, можно определить, находимся мы на плоскости или нет. Именно это говорит нам замечательная теорема Гаусса. Метрика Вселенной, которую можно найти, проанализировав формы и размеры сравнительно небольших треугольников, расскажет муравью, как именно она искривлена. Ему достаточно будет подставить полученные данные в формулу.

Сам Гаусс был очень впечатлён своим открытием. Его ассистент, Бернхард Риман, распространил формулу на многомерные континуумы, положив начало новому разделу математики – дифференциальной геометрии. Тем не менее вычисление кривизны пространства в каждой его точке требовало огромной работы, и математики пытались понять, нет ли более простого пути решения этой задачи, пусть даже несколько менее информативного. Они искали более гибкое определение «формы», которым было бы проще пользоваться.

Способ, который они придумали, сейчас называется топологией. Она оперирует качественными характеристиками формы и не требует численных измерений. В топологии два континуума считаются одинаковыми, если один из них можно преобразовать в другой с помощью непрерывной деформации. Например, бублик и кружка с точки зрения топологии неотличимы (гомеоморфны). Представьте, что кружка сделана из какого-то пластичного материала, который можно гнуть, сжимать или растягивать. Сначала вы сплющиваете кружку в диск так, чтобы получился «блин» с ручкой. Затем уминаете «блин» до тех пор, пока он не станет одной толщины с ручкой, и получаете кольцо. Теперь остаётся лишь немного его сгладить – и вуаля, перед вами бублик. В действительности, согласно топологии, и бублик, и кружка являются просто-напросто деформированной каплей, к которой зачем-то приделали ручку.

Такая топологическая версия «формы» позволяет задать вопрос, является ли Вселенная сферической, наподобие английского пончика (без дырки) или же американского (с дыркой), а может быть, это вообще что-то гораздо более сложное? Выяснилось, что подкованный в топологии муравей сумеет многое узнать о форме своего мира, если будет обвязывать его замкнутыми верёвочными петлями и наблюдать за их поведением. Если в таком мире имеется дыра, муравей может обвязать её своей петлёй, а вот стянуть её в математическую точку и при этом не разорвать невозможно. Если дыр несколько, муравей может обвязывать петлёй каждую из них и в результате подсчитать их количество и расположение. Если же в его мире дыр нет, муравей сможет стягивать свою петлю до тех пор, пока вся она не стянется в математическую точку.

К подобному «муравьиному» мышлению, обусловленному внутренними особенностями пространства, нужно привыкнуть, однако без него современную космологию не понять, поскольку общая теория относительности Эйнштейна, используя риманово обобщение уравнений Гаусса, определяет гравитацию как искривление пространства-времени.

До сих пор мы использовали слово «искривление» в широком смысле, а именно как форму изгибов. Однако теперь нам следует быть более осторожными, поскольку с муравьиной точки зрения искривление – это весьма тонкая штука, причём, возможно, он понимает под искривлением совсем не то, что мы. В частности, муравей, обитающий на поверхности цилиндра, будет настаивать, что его вселенная ни капельки не искривлена. С точки зрения внешнего наблюдателя, цилиндр выглядит подобно свёрнутому листу бумаги, однако геометрия небольших треугольников на цилиндре точно такая же, как и на евклидовой плоскости. Не верите? Тогда просто разверните скрученный лист. Длины и углы, измеренные на поверхности листа, не изменятся. Поэтому муравей, живущий на цилиндре, волен считать, что живёт на плоскости.

И математики с космологами совершенно с ним согласны. Тем не менее цилиндр в некотором отношении отличается от плоскости. Если муравей выйдет из своего домика на поверхность цилиндра и будет двигаться вдоль его образующей, через некоторое время он вернётся туда, откуда вышел, хотя путь, по которому он двигался, воспринимается им как прямая линия. В отличие от движения по плоскости, траектория его пути обогнёт цилиндр и вернётся в исходную точку. Таким образом, здесь есть топологическое различие, хотя гауссова кривизна не может его обнаружить.