Журнал «Млечный Путь» - Млечный путь № 3-2012(3)

Судя по всему, обнаруженные Зеноном необычные свойства нашего мира были первым проявлением, «выходом в свет» квантовой механики, несущей в себе свои знаменитые парадоксы. Сам великий грек закончил свои дни трагически: после конфликта с местным правителем он был жестоко казнен (по одной из легенд его заживо растолкли в ступе).

Чтобы понять суть сделанного Зеноном открытия, рассмотрим его парадокс (апорию) об Ахиллесе и черепахе (сам Зенон рассматривал движения быстрого и медленного бегуна). Сформулировать его можно следующим образом.

Ахиллес и черепаха бегут по прямой беговой дорожке. В начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса. Ахиллес догоняет черепаху с конечной скоростью, поэтому для перемещения в позицию, которую занимала убегающая от него черепаха, ему требуется ненулевой промежуток времени. Но за этот промежуток времени движущаяся черепаха неизбежно сдвинется на ненулевой интервал пути, и займет новую позицию, и т. д. Упомянутый промежуток времени (и, следовательно, интервал между Ахиллесом и черепахой) будет равен нулю в единственном случае — при бесконечно большой скорости Ахиллеса. Но это невозможно. Поэтому расстояние между бегущим Ахиллесом и ползущей черепахой всегда будет ненулевым, даже если скорость Ахиллеса значительно больше скорости черепахи .

Это утверждение предлагает совершенно естественное разбиение движения на интервалы в рамках классических представлений о движении и работает независимо от значений скоростей Ахиллеса и черепахи или величины интервала на каждом этапе движения, даже если эти интервалы становятся сколь угодно малыми. Оно удивительно красиво и просто, и при этом и логически, и физически абсолютно безукоризненно (в рамках классических представлений о движении). В его основе лежат классические представления о механическом движении: возможности точной локализации положения объектов во времени и пространстве, понятии пространственных и временных интервалов, их аддитивности (т. е. возможности представить общий путь движения в виде суммы составляющих его интервалов) и т. д.

Однако вопреки порождаемому ею парадоксу, в наблюдаемом мире непрерывное механическое движение все-таки существует. Это хорошо отражено в студенческом анекдоте: «Ахиллес был учеником Зенона и твердо знал, что стрела никогда не достигает своей цели. Это и подвело его во время Троянской войны».

Желание спасти классические представления о движении породили самые разные схемы «опровержения» парадокса. Одно из самых популярных «опровержений» заключается в дополнении утверждения Зенона, которое мы сформулировали выше, утверждением: «Чтобы Ахиллес догнал черепаху, он должен сделать бесконечное число шагов за конечное время». Сходящаяся бесконечная последовательность уменьшающихся временных и пространственных интервалов образует в сумме конечные величины, а формирующийся на каждом шаге интервал — расстояние между Ахиллесом и черепахой — в пределе имеет нулевое значение. Подменяя интервал между бегунами его нулевым пределом, делается вывод, что таким образом Ахиллес настигает черепаху.

Однако на самом деле такая подмена неправомерна. Необходимость бесконечного числа шагов никак не следует из утверждения Зенона, поэтому связывать его с утверждением Зенона нет никаких оснований. Логика Зенона, не допускающая существования нулевого члена в последовательности уменьшающихся интервалов (расстояний между бегунами), остается непоколебленной в результате этих рассуждений.

В ситуации с парадоксом Зенона использование бесконечностей недопустимо, так как сближение Зенона и черепахи является физическим (а не математическим) процессом. Проиллюстируем эту ситуацию следующим примером. Допустим, что некий солидный банк в рекламных целях установил вознаграждение Ахиллесу за то, что он догонит черепаху. Сумма вознаграждения будет определяться в зависимости от числа шагов Ахиллеса, которые формируются по схеме Зенона. Возникает вопрос — получит ли Ахиллес свое вознаграждение? Действительно, чтобы получить деньги, Ахиллес должен представить в Банк счет с точным расчетом требуемой суммы. При этом Ахиллес должен будет указать число шагов, при котором расстояние между ним и черепахой в точности стало равным нулю. В этом и состоит хитрость банковских менеджеров, имевших в виду «и невинность соблюсти и капитал приобрести». Ахиллес никогда не сможет выполнить банковские условия, потому что, какое бы число шагов он ни указал, ему всегда будет соответствовать пусть очень маленькое, но ненулевое расстояние между ним и черепахой, и условие банка не будет выполнено. Если же Ахиллес, чтобы выкрутиться из этой ситуации, использует логику «опровержения», допускающую подмену интервала между Ахиллесом и черепахой его нулевым пределом, то вряд ли найдется банк, который согласится принять к оплате такой странный счет. И в бухгалтерии, и в физике не допускается использование в расчетах измеримых величин, принимающих бесконечно большие значения, с заменой реально измеримых величин их пределами.

Когда мы рассматриваем последовательность Зенона как описание физического процесса , то расстояние между Ахиллесом и черепахой есть величина измеряемая, т. е. физическая, для любого момента времени. Соответственно, число шагов, выполненных Ахиллесом, также является реально измеримой (физической) величиной. Как физическая величина, она уже никак не может принимать бесконечно большое значение, и, следовательно, связанная с ней величина интервала между бегущими Ахиллесом и черепахой не может быть в точности равной нулю.

Черепахе стало жалко Ахиллеса и она остановилась. Только тогда измученный и постаревший Ахиллес смог догнать ее и наконец отдохнуть. Рисунок с сайта: http://jupiters.narod.ru/dinamic5_paradox.htm

Допустим, что парадокс Зенона неверен. Тогда в конце движения должен существовать хотя бы один интервал, на котором Ахиллес во время движения не пробегал бы точки, которые занимала ранее черепаха. Но поскольку по условию они бегут по одной прямой, это невозможно. Поэтому парадокс Зенона выполняется в любом случае, независимо от способа разбиения их пути на участки. Другими словами, не существует завершающего участка в конце движения (определяемого законами классической механики), на котором Ахиллес и черепаха дружно бы «перескочили» в одну и ту же точку встречи, минуя логику Зенона. И никакими математическими ухищрениями этот факт опровергнуть невозможно (этот вывод верен с точностью до аддитивности интервалов движения).

Итак, опровержения парадокса Зенона, основанные на подмене интервалов движения их пределом, не доказывают, что расстояние между бегунами сократится в точности до нуля. И тем более они не приводят к доказательству возможности того, что Ахиллес обгонит черепаху. Крупнейший математик ХХ века Давид Гильберт после тщательного анализа проблематики парадокса Зенона в фундаментальной монографии «Основания математики» отмечал: « Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится, и таким образом дает конечный промежуток времени. Однако эти рассуждения абсолютно не затрагивают один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некоторая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только фактически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться ».