Александр Казанцев - Фаэты. Рассказы о необыкновенном

- И все это триста лет назад записал Ферма?

- Что вы! Ферма никогда или почти никогда (но об этом позже) не раскрывал до конца своих «математических этюдов», как я их называю по аналогии с шахматными. Ведь и вы, как уже сказали, не сообщаете шахматистам решения своих этюдов при их публикации. По существу, так же поступал и Ферма, но с большей, я бы сказал, масштабностью и значимостью. Представление о конечности бесконечной Вселенной - вопрос философский, которым ныне заняты современные мыслители. Но задача эта, о чем мало кто даже подозревает, была поставлена Ферма.

- Вот это человек! Академик! Бессмертный, как говорят во Франции! - восхитился Олег.

- Да, «бессмертный»,- подтвердил Аркадий Николаевич,- но не по результатам выборов с тайным голосованием старцев в мантиях в Париже или по назначению высших властей, а будучи обыкновенным с виду французом Пьером Ферма, где-то служившим, в суде или в парламенте, многодетным, но БЕССМЕРТНЫМ по своим деяниям, которые имел возможность изучать лишь в тесной комнате с узкими окнами. Ее назвали бы теперь кабинетом, но едва ли такая мысль приходила в голову скромному французскому гению. Однако он тщательно запирался в ней, видимо, для того, чтобы ему не мешали. И составлял свои бессмертные математические этюды. Ведь не случайно, что их доказательства он прятал от всех, даже от самого себя, потом никак не мог их отыскать. Или ленился записывать их, делая вид, что у него нет листа бумаги, кроме чистых, но узких полей любимой «Арифметики» Диофанта. И он не удосуживался записывать свои открытия в манускрипты. В лучшем случае он писал интригующие (или, если хотите, озорные) письма своим современникам, математикам и вызывающе предлагал им доказать то, что им самим было доказано, но скрыто. Так и осталась потомкам часть сохраненных его писем и «Арифметика» Диофанта с исписанными его рукой полями.

- Так вот почему, как правило, доказательства Ферма до нас не дошли! Говорят, лучшим «решателем» его математических загадок был Эйлер? - вспомнил я книгу о теореме Ферма.

- Да, Эйлер восстановил скрытые Ферма доказательства большинства его теорем. Я не знаю, есть ли такие примеры в шахматах, которые, как принято считать, в какой-то мере отражают жизнь. Однако Великую теорему Ферма в общем виде доказать Эйлеру не удалось.

- А вам?

- Я был уверен, что ответ на это сможет дать лишь Ферма.

- И он дал вам этот ответ? Разве, будучи фантомом, вы могли с ним говорить, как сейчас со мной?

- Зачем говорить, когда можно читать? Я уже приводил вам слова Ферма о его теореме. Ведь и у вас, шахматистов, порой принято давать решателям трудных этюдов наводящие советы.

- Случается.

- Так и тут они есть, эти наводящие советы. Стоит вдуматься, почему на полях книги Диофанта, посмеясь над тем, что они слишком малы, Ферма, тем не менее, не скупился на повторения:

«Ни куб на два куба, ни квадрато-квадрат и вообще никакая, кроме квадрата, степень не может быть разложена на сумму двух таких же…» Ведь не для усиления отрицания употреблена здесь столько раз частица «НИ», а для того, чтобы подчеркнуть существование единого способа разложения степени на сумму слагаемых той же степени!

- Разве есть формула разложения степенных функций на два слагаемых в той же степени? - дотошно заинтересовался Олег.

- Конечно, есть! Ее дал все тот же Ферма! И я, или «фантом» в моем лице, легко обнаружил ее.

Прежде всего оговоримся: Ферма не утверждал, что его великая теорема касается показателей степени, выраженных только целыми числами, это следует лишь из косвенных рассуждений.

Общая формула разложения степенных функций на два таких же степенных слагаемых действительна не только для целых чисел, но анализ ее для целых чисел может дать ответ на трехсотлетний вопрос.

- Поистине хочется верить, что вы, хоть и в виде фантома, но побывали у Ферма,- пошутил я.

Но Аркадий Николаевич ответил вполне серьезно:

- По результатам, к которым я пришел, можно считать, что я побывал у Ферма, гениального шутника.

- Может быть, вы заразились у него склонностью к шуткам?…- в прежнем тоне продолжал я.

- Подожди, отец,- прервал меня Олег.- Я не поверил бы этому даже при виде вывезенной из прошлого трубки, которую курил Ферма. Покажите мне его формулы, которые убедили бы меня, впрочем, как и любого другого математика.

- Извольте. Есть у вас на чем записать?

Олег встал и достал из висевшей на плечиках форменной тужурки блокнот.

Я не стал вникать в беседу, которая перешла на более высокий математический уровень. Ограничусь лишь тем, что приведу вырванный Олегом листок из блокнота. Желающие без труда могут разобраться в нем, если не совсем забыли школьную математику, которая была тем фундаментом, на котором основывались выводы ФермаN.

[NВот запись в блокноте:

«х + y = z. Для целых чисел «п» не может быть иным, чем 1 или 2.

Решение этой проблемы следует начинать с вывода общей формулы разложения степенной функции.

Ферма изобрел математический метод подстановки для решения задачи хі + уі = аі + bі. При решении этого примера обычными методами сумма двух кубов представлялась не их суммой, а разностью. Ферма вышел из затруднения с помощью подстановки х = t + 1, с гордостью называя такой сдвиг «кривой», которым он пользовался и в других случаях - «мой метод». Этим «своим методом» Ферма воспользовался и в данном случае, полагая, что z - рациональное число, Ферма заменил его суммой двух рациональных слагаемых (z = а + b). Такая подстановка позволила ему получить ту общую формулу разложения степенных функций, на которой, собственно, и базируется его «поистине удивительное» доказательство, и которую сегодня мы по праву должны назвать «Биномом Ферма»:

(a + b)= (a + mb)+ (ma + b), где m = (n).]

Я рассматривал листок в блокноте, а Аркадий Николаевич, наклонясь ко мне, комментировал его:

- Можно проанализировать функцию М = (n) в интервале от плюс до минус бесконечности, как и в случае с коническим сечением. И тогда в указанном интервале всем рациональным значениям «я», кроме первых и вторых, могут соответствовать в формуле бинома либо только идни рациональные, либо одни иррациональные значения этой функции. В силу такого свойства «Бинома Ферма» становится очевидным, что достаточно доказать всего один частный случай с показателем n, большем двух, и оно будет служить полным доказательством всей Великой теоремы Ферма.

- И все это написано рукой Ферма? - спросил я, показывая на листок блокнота.

- Нет,- рассмеялся Аркадий Николаевич.- Рукой вашего сына под мою диктовку.

- Под диктовку фантома, следившего за гусиным пером великого математика прошлого?

- Не совсем так. Подстановку, являющуюся его признанным методом, в его же бином, Ферма, очевидно, сделал сам без меня. Но это может сделать в наше время любой школьник. А вот требуемый для общего доказательства теоремы частный случай, в порядке исключения, записан гусиным, с вашего позволения, пером самого Ферма во всей полноте для квадрато-квадратов, как называл он четвертую степень. Предположение, что х + y = z имеет решение в целых числах после остроумных, вполне безупречных преобразований, приводит к абсурду , когда целое число оказывается больше собственного квадрата, да еще сложенного с квадратом другого числа. Это приведено во всех книгах о теореме.