Стивен Строгац - Удовольствие от Х

При такой интерпретации наклоненный квадрат будет свободным пространством в середине головоломки. Оставшуюся часть внутри рамки занимают пазлы. Попробуем их подвигать. Конечно, что бы мы ни делали, мы никогда не сможем изменить общую площадь свободного пространства внутри рамки — оно всегда будет областью, лежащей вне пазлов.

После небольшого мозгового штурма переставим пазлы таким образом:

Пустое пространство неожиданно принимает форму среднего и малого квадрата, которые мы ищем. А так как общая площадь свободного пространства неизменна, вот мы и доказали теорему Пифагора!

Это доказательство дает гораздо больше, чем уверенность в правильности теоремы, — оно ее разъясняет . И именно это делает его элегантным.

Для сравнения рассмотрим еще одно доказательство. Не менее знаменитое, и, пожалуй, самое простое из тех, где не используются площади.

Как и прежде, возьмем прямоугольный треугольник со сторонами a , b и гипотенузой с , как показано ниже на рисунке слева.

Далее (как что-то подсказывает нам по божественному вдохновению или благодаря собственной гениальности) проведем перпендикуляр вниз от гипотенузы к противоположному углу, как это сделано в правом треугольнике.

Эта маленькая умная «бестия» внутри исходного треугольника создает еще два меньших треугольника. Легко доказать, что все они подобны, то есть у них одинаковая форма, но различные размеры. Что, в свою очередь, означает, что длина их соответствующих сторон имеет подобные пропорции. Это можно записать в виде следующей системы равенств:

Мы также знаем, что

c = d + e ,

поскольку построенный перпендикуляр делит гипотенузу c на два меньших отрезка d и e .

В этот момент не стыдно немного растеряться или просто не знать, что делать дальше. Мы в трясине из пяти представленных выше равенств и пытаемся привести их к равенству

a 2+ b 2= c 2.

Попробуйте сделать это за несколько минут. Вы обнаружите, что два равенства излишни. Следовательно, это неэлегантное доказательство. В изящном доказательстве не должно быть ничего лишнего. Конечно, все крепки задним умом, но ведь сначала мы ничего не знали об этих равенствах. Что, впрочем, не делает нашу мину при плохой игре лучше.

Тем не менее, манипулируя тремя «нелишними» равенствами, можно вывести требуемое соотношение. (См. пропущенные шаги доказательства в примечании 46 в конце книги.)

Согласны ли вы с тем, что с эстетической точки зрения этот вариант уступает первому? Конечно, он приводит к доказательству. Но кто пригласил на вечеринку всю эту алгебру? Ведь это геометрическая теорема.

Однако более серьезный недостаток последнего доказательства — непрозрачность. К тому времени, когда вы закончите упорно продираться сквозь его дебри, может быть, скрепя сердце вы и поверите в верность теоремы, но все еще в этом не убедитесь .

Но оставим в стороне доказательства. Что вообще дает теорема Пифагора? Она выявляет фундаментальную истину о природе пространства, показывая, что оно плоское, а не изогнутое. Например, для поверхности шара или тора (фигура, похожая на бублик) подобную теорему придется изменить. Эйнштейн столкнулся с этим в своей общей теории относительности (где гравитация рассматривается не как сила, а как проявление искривления пространства), как и Георг Риман[15] и другие ученые в условиях, когда только закладывались основы неевклидовой геометрии.

От Пифагора до Эйнштейна пролегла долгая дорога. Но по крайней мере она прямая — свою б о льшую часть.

13. Кое-что из ничего

Любой курс математики содержит хотя бы одну заведомо трудную тему. В арифметике это деление в столбик. В алгебре — текстовые задачи. А в геометрии — доказательства.

Большинство учеников, изучающих геометрию, до этого никогда не сталкивались с доказательствами. И такая встреча может вызвать шок, поэтому здесь был бы уместен ярлычок со следующей надписью : «Доказательства способны вызвать головокружение или чрезмерную сонливость. Побочные эффекты от длительного воздействия доказательств могут включать в себя ночную потливость, приступы паники и в редких случаях эйфорию. Прежде чем приступать к их изучению, проконсультируйтесь с врачом».

Умение приводить доказательства уже давно считается одним из ключевых для общего образования. И, по мнению некоторых, более существенным, чем сама геометрия. Хотя никто толком не понимает, как научиться их формулировать. Согласно этой точке зрения, геометрия хороша для развития умственных способностей, поскольку обучает нас думать четко и логично. Сюда не относится изучение треугольника, круга и параллельных линий как таковых. Важно само применение аксиоматического метода, представляющего собой процесс пошагового создания строгих аргументов до получения подтверждения искомого вывода.

Евклид47 установил этот дедуктивный подход в своих «Началах» (в настоящее время наиболее часто перепечатываемый учебник всех времен) около 2300 лет назад. С тех пор евклидова геометрия стала моделью логического мышления во всех сферах жизни — от науки и философии до права и политики. Например, Исаак Ньютон применил метод Евклида в структуре своего шедевра «Математические начала натуральной философии». Используя геометрические доказательства, он вывел законы Галилея и Кеплера о движении летящих предметов и планет на основе их собственных глубинных законов движения и гравитации. «Этика» Спинозы[16] следует той же схеме. Полное название книги «Этика, доказанная в геометрическом порядке» (Ethica Ordine Geometrico Demonstrata). Вы можете услышать отголоски Евклида даже в Декларации независимости. Когда Томас Джефферсон48 писал: «Мы считаем эти истины самоочевидными», он имитировал стиль «Начал» Евклида. Древнегреческий математик начал с определений, постулатов и самоочевидных истин геометрии, аксиом, и из них воздвиг здание утверждений и доказательств, где истины связаны между собой посредством неопровержимой логики. Джефферсон построил Декларацию аналогичным образом: его радикальные выводы о том, что колонии имеют право на самоуправление, казались неотвратимыми, как факт геометрии.

Даже если этот документ с некоторой натяжкой можно воспринимать как часть интеллектуального наследия, имейте все же в виду, что Джефферсон читал Евклида. Через несколько лет после окончания второго президентского срока он отошел от общественной жизни и писал об этом своему старому другу Джону Адамсу 12 января 1812 года: «Я отказался от газет в обмен на Тацита и Фукидида, Ньютона и Евклида, и считаю себя гораздо счастливее».