Стивен Строгац - Удовольствие от Х

Построив внутренние накрест лежащие углы, мы видим, что угол слева от верхнего угла треугольника должен быть равен a . Аналогичным образом угол справа от верхнего угла равен b . Таким образом, вместе углы а, b и с образуют развернутый угол в 180°. Что и требовалось доказать.

Это одно из самых убедительных доказательств во всех разделах математики. Оно начинается со вспышки молнии, сопровождаемой раскатами грома, — построения параллельной прямой. Как только прямая линия проведена, доказательство, как создание доктора Франкенштейна, начинает гулять само по себе.

И кто знает? Если мы высветим эту другую сторону геометрии — занимательную и интуитивную, где искра воображения может быстро возгореться в доказательство, — то, может быть, ученики запомнят уроки геометрии как уроки, где они научились мыслить логически и творчески49.

14. Конический заговор

Галереи шепота — это замечательные акустические пространства, обнаруженные под определенными куполами, сводами или сводчатыми потолками. Один из таких сводчатых потолков находится в вестибюле станции метро Grand Station в Нью-Йорке. Это прекрасное место для свиданий: вы можете обмениваться милыми глупостями, находясь на расстоянии сорока футов, разделенные шумным проходом, и будете четко слышать друг друга, а прохожие не услышат ни слова из того, что вы сказали.

Для получения такого эффекта двое должны стать на одной линии в противоположных углах помещения лицом к стене так, чтобы оказаться в геометрических фокусах звука, то есть в точках, в которых сосредотачивается звук, отражающийся от изогнутой стены прохода или потолка. Обычно звуковые волны распространяются во всех направлениях, хаотично отражаются от стен и так сильно перемешиваются, что становятся нераспознаваемы для уха слушателя, находящегося в сорока футах от вас (именно поэтому прохожие не слышат, что вы говорите). Но когда вы шепчете в фокусе , все отраженные волны одновременно прибывают в другой фокус, тем самым усиливая друг друга, благодаря чему ваши слова можно расслышать.

Эллипсы демонстрируют аналогичное чутье на фокус, хотя и в более простой форме. Если мы изобразим отражатель в виде эллипса, то две особые точки внутри него (отмеченные как F 1и F 2на рисунке ниже) будут фокусами, и все лучи, исходящие из источника света в одной из этих точек, отразятся в другой.

Я продемонстрирую удивительные свойства фокусов в эллипсах на двух примерах.

Предположим, что Дарт и Люк[17] занимаются стрельбой из лазеров на эллиптической арене с зеркальными стенами. Они договорились не целиться прямо друг в друга, а стрелять в противника дуплетом. Дарт не очень разбирается в геометрии и оптике и не замечает, что оба находятся в точках фокуса. «Хорошо, — говорит Люк, — только я буду стрелять первым». Но это совсем не похоже на дуэль, потому что Люк не может промахнуться! Куда бы он ни целился, он все равно попадет в Дарта. Каждый его выстрел победный.

Если вы любитель поиграть в бильярдный пул, представьте себе, что играете в бильярд на эллиптическом столе с лузой в одном из фокусов. Чтобы направить кий для трюкового удара, который каждый раз гарантирует попадание, установите бильярдный шар в другом фокусе. Тогда, как бы вы ни ударили по шару и где бы он ни отскочил от стенки стола, он всегда угодит в лузу.

Параболические кривые и поверхности имеют другую поразительную способность — фокусировать параллельно входящие лучи в одной точке. Эта особенность их геометрии очень полезна в случае, если необходимо усилить световые или звуковые волны или другие сигналы. Например, параболические микрофоны могут использоваться для усиления приглушенных разговоров, в связи с чем представляют интерес для слежки, шпионажа и правоохранительных органов. Они также пригодятся для записи звуков природы: пения птиц, голосов животных, а во время телевизионной трансляции спортивных программ позволят услышать, как тренер ругает судей. Параболические антенны тоже способны усиливать радиоволны, поэтому телевизионные спутниковые тарелки и гигантские астрономические радиотелескопы имеют характерную изогнутую форму.

Фокусирующее свойство параболы не пропадает, если развернуть ее в противоположном направлении. Допустим, вы хотите получить в прожекторах и фарах автомобиля точно сфокусированные лучи света. Сами по себе лампочки, даже мощные, недостаточно хороши. Они расходуют слишком много световой энергии, рассеивая ее во всех направле­ниях. Местом, где лампы находятся в фокусе, является параболический отражатель фары, и — вуаля!— парабола автоматически создает направленный луч. Отражая лучи лампы от посеребренной внутренней поверхности фары, парабола все лучи делает параллельными.

Когда вы оцените фокусирующую способность парабол и эллипсов, то удивитесь, что среди всех геометрических фигур больше практически ни одна не обладает подобными свойствами. Не лежат ли в их основе какие-то фундаментальные закономерности?

У математиков и сторонников теории заговора[18] много общего: мы не доверяем совпадениям, особенно удачным. Отрицаем случайности. Все имеет свою причину. Применительно к реальной жизни такой способ мышления, возможно, кажется несколько параноидальным, но для математика он совершенно нормален. В идеальном мире чисел и фигур странные совпадения обычно являются ключами к тому, чего мы не замечаем, и свидетельствуют о наличии скрытых закономерностей.

Итак, рассмотрим более подробно возможную связь между параболами и эллипсами50. На первый взгляд, они не похожи. Параболы имеют форму арки, вытянутой на обоих концах. У эллипсов овальная форма, и они напоминают раздавленные окружности, замкнутые и ограниченные.

Но как только вы выйдете за рамки стандартных представлений и исследуете анатомию этих фигур, то заметите, насколько они похожи. Обе принадлежат к королевской семье кривых; генетическая связь между ними становится очевидной, когда понимаешь, куда нужно смотреть.