Ричард Фейнман - 2. Пространство. Время. Движение

Существует еще третье, очень интересное выражение для момента силы. Как вы только что узнали, момент силы равен силе, умноженной на радиус и на синус угла а (см. фиг. 18.2), Если теперь продолжить линию действия силы и провести прямую, перпендикулярную к ней, то нетрудно видеть, что длина OS (она часто называется плечом силы) во столько раз короче радиуса, во сколько тангенциальная составляющая силы меньше полной ее величины. Поэтому можно записать, что момент равен произведению величины силы на длину ее плеча.

Мы не знаем точно, откуда произошел термин «момент силы» — по-видимому, от латинского movimentum, что означает способность силы двигать объект (используя какой-либо рычаг), тем более заметную, чем длинней плечо силы. Кстати, в математике слово «момент» означает усреднение с весом, в ка­честве которого взято расстояние до оси.

§ 3. Момент количества движения

Хотя до сих пор мы рассматривали только специальный слу­чай твердого тела, свойства момента и его математическое выра­жение интересны даже тогда, когда тело не твердое. Можно доказать очень интересную теорему: подобно тому как внешняя сила равна скорости изменения величины р, которая называется пол­ным импульсом системы частиц, так и момент силы равен ско­рости изменения некоторой величины L, называемой моментом количества движения, или угловым моментом группы частиц. Чтобы доказать это, рассмотрим систему частиц, на которую действуют силы, и посмотрим, что произойдет с системой в результате действия вращающих моментов, созданных этими силами. Для начала давайте возьмем только одну частицу. Такая частица с массой mи осью О изображена на фиг. 18.3.

Фиг. 18.3. Движение частиц относительно оси вращения С

Она не обязательно должна вращаться по окружности вокруг оси О, а может двигаться и по эллипсу, подобно планете вокруг Солнца, или по какой-нибудь другой кривой. Главное то, что она движется, что на нее действует сила, которая ускоряет ее в соответствии с обычными законами: x-компонента силы равна массе, умноженной на x-компоненту ускорения, и т. д. Но по­смотрим теперь, как действует момент силы. Он, как вы знаете, равен xF y -yF x , а х- и у-компоненты силы в свою очередь рав­ны массе, умноженной соответственно на х- и y-компоненту ускорения, так что

Хотя сразу и не видно, что это выражение является производ­ной от какой-то простой величины, но на самом деле оно равно производной от xm(dy/dt)-ym(dx/dt). Действительно,

Оказывается, таким образом, что момент силы равен скорости изменения со временем некоторой величины! Давайте обратим внимание на эту величину и прежде всего дадим ей имя. Она будет называться моментом количества движения, или угловым моментом, и обозначаться буквой L

Хотя во всех наших рассмотрениях мы не принимали в рас­чет теорию относительности, тем не менее второе выражение для L верно и при учете ее. Итак, мы нашли, что у обычного импульса также существует вращательный аналог — угловой момент, который связан с компонентами импульса точно так же, как и момент силы связан с компонентами силы! Так что если мы хотим вычислить момент количества движения отно­сительно какой-то оси, то должны взять тангенциальную сос­тавляющую импульса и умножить ее на радиус. Другими сло­вами, угловой момент показывает, насколько быстро движется частица вокруг какого-то центра, ведь он учитывает только тангенциальную часть импульса. Более того, чем дальше от центра удалена линия, по которой направлен импульс, тем больше будет угловой момент. Точно так же, поскольку гео­метрия в этом случае та же, что и в случае момента силы, су­ществует плечо импульса (оно, разумеется, не совпадает с плечом силы, действующей на частицу), которое равно расстоя­нию линии импульса от оси. Таким образом, угловой момент равен просто величине импульса, умноженного на его плечо. Точно так же, как и для момента силы, для углового момента мы можем написать следующие три формулы:

L=хр y -ур х =rp танг =р ·Плечо импульса. (18.17)

Момент количества движения, как и момент силы, зависит от положения оси, относительно которой он вычисляется.

Прежде чем перейти к рассмотрению более чем одной части­цы, применим полученные выше результаты к движению пла­неты вокруг Солнца. В каком направлении действует сила? Конечно, по направлению к Солнцу. А какой при этом будет момент силы? Разумеется, все зависит от того, в каком месте мы выберем ось, однако результат получится совсем простым, если в качестве точки вращения выбрать само Солнце. Посколь­ку момент силы равен силе, умноженной на ее плечо, или ком­поненте силы, перпендикулярной к радиусу r , умноженной на r , то в этом случае нет никакой тангенциальной составляющей силы, а поэтому момент силы относительно оси, проходящей через Солнце, равен нулю. Следовательно, момент количества движения должен оставаться постоянным. Давайте-ка посмот­рим, что это означает. Произведение тангенциальной компонен­ты скорости на массу и радиус, будучи моментом количества движения, должно оставаться постоянным, потому что скорость его изменения есть момент силы, который в нашем случае равен нулю. Это означает, что остается постоянным произведение тангенциальной компоненты скорости на радиус, поскольку масса-то уж, конечно, не изменяется. Но такая величина, ха­рактеризующая движение планеты, уже вычислялась нами раньше. Предположим, что мы взяли маленький промежуток времени Dt. Какое расстояние пройдет планета при своем дви­жении из точки Р в точку Q (фиг. 18.3)? Как велика площадь той области, которую «заметает» прямая, соединяющая пла­нету с Солнцем? Пренебрегая площадью QQ'P, которая очень мала по сравнению с OPQ, находим, что площадь этой области равна половине основания PQ, умноженного на высоту OR. Другими словами, «заметенная» площадь равна половине про­изведения скорости на ее плечо. Так что скорость изменения этой площади пропорциональна моменту количества движения, который остается постоянным. Итак, мы получим, что закон Кеплера о равных площадях за равные промежутки времени является просто словесным описанием закона сохранения мо­мента количества движения, когда моменты внешних сил от­сутствуют.