Алекс Беллос - Красота в квадрате

В полдень летнего солнцестояния Солнце не отбрасывает тень в Сиене, но отбрасывает тень от шеста, установленного в Александрии. Угол, который образуют солнечные лучи с шестом, равен углу от центра Земли к этим двум городам

Одна из основных теорем греческой геометрии гласит, что лежащие накрест углы равны, а это значит, что линия, пересекающая две параллельные прямые, образует с ними равные углы. Следовательно, угол, который образует с лучами шест, равен углу в центре Земли. Эратосфен определил, что построенный шестом угол составляет пятидесятую часть полного круга, стало быть, и угол в центре Земли такой же. Получается, расстояние от Александрии до Сиены составляет одну пятидесятую окружности земного шара.

Выходит, что для того, чтобы вычислить окружность Земли, Эратосфену следовало просто умножить расстояние от Александрии до Сиены на пятьдесят. У греков уже была достаточно точная оценка этого расстояния — 5000 стадиев: его измерили бематисты (землемеры), шагомеры, определяющие расстояние и маршрут. (Эратосфену как создателю географии судьба подарила три географических факта, без которых его измерения были бы невозможны: египтяне расселились вплоть до Сиены, находящейся на Тропике Рака — самой северной широте, где Солнце не отбрасывает тень по крайней мере один раз в год; Сиена расположена строго на юг от Александрии; земля между этими двумя городами позволяла проложить более-менее ровную дорогу.) Один стадий в современной системе измерения равен 166 метрам. Таким образом, окружность Земли была рассчитана так: 166 метров × 5000 стадиев × 50, что составляет примерно 41 500 километров, всего на 1500 километров (около 4 процентов) больше правильного значения. На протяжении целой тысячи лет никому не удалось получить более точный результат, чем Эратосфен.

Сейчас город Сиена известен как Асуан. В нем до сих пор сохранился тот самый колодец, однако из-за безжалостного полуденного зноя, наступающего в день летнего солнцестояния, это место вряд ли станет Меккой для туристов.

Ко временам Эратосфена греческая математика уже прошла путь от первых идей Фалеса относительно треугольников до большого свода теорем о них вместе с доказательствами. Преобладание треугольника в греческом мышлении обусловлено тем, что все фигуры, построенные на основе прямых линий (квадраты, пятиугольники и т. д.), можно разбить на треугольники, а фигуры, образованные кривыми линиями (такие как окружности, эллипсы и параболы), — приближенно представить в виде треугольников.

Поскольку все треугольники делятся на прямоугольные (треугольники, в которых один угол прямой, или «четвертьоборотный»), древние греки ценили последние больше всего. На представленном ниже рисунке показано, как разбить треугольник на два треугольника поменьше с прямыми углами. Для этого необходимо провести перпендикуляр до самой большой стороны от противоположного угла треугольника. Когда мы начинаем изучать математику, нам рассказывают, что такое гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. И сразу после этого объясняют теорему Пифагора (нижний рисунок), которая гласит:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов [5].

Прямоугольные треугольники

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора стала одной из наиболее известных в математике по многим причинам, самая главная из которых состоит в том, что в ней речь идет о прямоугольном треугольнике — объекте планиметрии, не поддающемся упрощению.

Когда Солнце отбрасывает тень от шеста, образуется прямоугольный треугольник, как мы помним из истории о Фалесе. Однако, когда Солнце движется по небу, изменение угла падения солнечных лучей не вызывает пропорционального изменения длины тени. Если угол увеличивается с постоянным приращением (как на представленном ниже рисунке), то приращение длины тени с каждым разом становится все больше, поэтому в конце дня мы видим, как тени буквально ползут по земле. Астрономы, не говоря уже о производителях солнечных часов, очень хотели понять взаимосвязь между углом падения солнечных лучей и длиной тени. Но у древних греков не было инструмента, который бы помог им ответить на этот вопрос: при всех их геометрических знаниях, существовавшая на то время система представления чисел была чрезвычайно громоздкой. Для того чтобы продвинуться дальше в изучении треугольников, древним грекам требовалась более эффективная система записи дробных чисел.

Солнечные лучи, падающие под равными углами, отбрасывают тени разной длины

Греческая система счисления произошла от египетской, которая подразумевала запись чисел двумя способами [6]. Вырезая числа на дереве или высекая на камне, египтяне использовали иероглифы. Каждая степень десяти от единицы до миллиона была представлена специальным символом: 1 — вертикальная линия, 10 — перевернутая буква U, 100 — спираль, 1000 — цветок лотоса со стеблем, 10 000 — слегка изогнутый палец, 100 000 — головастик, 1 000 000 — человек на коленях с поднятой к небу головой [7]. Любое число записывалось посредством повторения этих символов; например, число 3 141 592 выглядело бы так.

Для записи чисел на папирусе египтяне применяли менее сложную систему иератического письма, которая больше подходила для использования ручки и чернил. Они ввели специальные символы для обозначения цифр и чисел, кратных 10. Таким образом, вместо утомительного изображения числа 7 в виде семи вертикальных линий египтяне применяли один символ . Переход от представления чисел в виде повторяющихся иероглифов к их записи с помощью символов был важным шагом вперед.

В случае записи чисел с помощью иероглифов для обозначения дробей над числом размещался символ рта , для того чтобы обозначить обратную величину — подобно тому, как мы ставим 1 над линией дроби. Например, дробь изображалась как , а — как . В системе записи чисел посредством иератического письма для обозначения дроби над числом ставилась точка; например, дробь выглядела так: . Египтяне использовали только единичные дроби, поэтому им приходилось разбивать дроби с числителем больше 1 на сумму единичных дробей, например — на + и — на + + + . Сжатое значение египетских сумм единичных дробей напоминает нашу систему десятичных дробей, в которой, например, число 0,234 представляет сумму дробей + + , хотя египетская система была не настолько эффективной и гибкой, как наша [8].