Чарльз Уилан - Голая статистика

Вероятность также позволяет подсчитать математическое ожидание – чрезвычайно полезный инструмент, используемый при принятии любых управленческих решений, особенно в сфере финансов. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Математическое ожидание, или отдача (функция выигрыша) от некоторого события, например покупки лотерейного билета, представляет собой сумму всех разных исходов, весовыми коэффициентами при каждом из которых являются вероятность исхода и выигрыш. Как обычно, приведем пример, чтобы прояснить смысл сказанного. Допустим, вам предложили сыграть в кости, причем подбрасывается только одна игральная кость. Функция выигрыша в этой игре такова: 1 доллар, если у вас выпадает 1; 2 доллара, если у вас выпадает 2; 3 доллара, если у вас выпадает 3 и т. д. Каково математическое ожидание в случае однократного подбрасывания игральной кости? Вероятность каждого из возможных исходов равняется 1/6, поэтому математическое ожидание вычисляется так:

⅙ ($1) + ⅙ ($2) + ⅙ ($3) + ⅙ ($4) + ⅙ ($5) + ⅙ ($6) = 21/6, или $3,50.

На первый взгляд, математическое ожидание 3,50 доллара кажется относительно бесполезной величиной. В конце концов, вы не можете фактически заработать 3,50 доллара в результате однократного подбрасывания игральной кости (так как ваш доход в любом случае должен равняться целому числу). На самом деле математическое ожидание представляет собой чрезвычайно мощный инструмент, поскольку он может сказать вам, является ли то или иное событие «справедливым», учитывая его цену и ожидаемый исход. Допустим, вам предлагают поучаствовать в описанной выше игре при ставке 3 доллара за каждое подбрасывание игральной кости. Имеет ли смысл соглашаться на такие условия? Да, поскольку математическое ожидание исхода (3,50 доллара) выше, чем стоимость игры (3,00 доллара). Это не означает, что вы обязательно заработаете деньги в результате однократного подбрасывания игральной кости, но помогает уяснить, на какой риск стоит пойти, а на какой – нет.

Этот гипотетический пример можно применить к профессиональному американскому футболу. Как указывалось ранее, после тачдауна команда может либо пробить и заработать дополнительное очко, либо попытаться выполнить двухочковую конверсию. Первый вариант предполагает такой удар по мячу с трехъярдовой линии, в результате которого мяч должен пройти между стойками ворот; второй вариант предполагает пробежку или передачу мяча в концевую зону с трехъярдовой линии, что значительно труднее. Команда может предпочесть более легкий вариант и заработать одно очко или выбрать более сложный вариант и заработать два очка. Как быть?

Возможно, статистики не играют в футбол и не назначают свиданий девушкам из группы поддержки, но они могут предоставить ценное статистическое руководство футбольным тренерам {36}. Как указывалось ранее, вероятность выполнения удара после тачдауна равняется 0,94. Это означает, что математическое ожидание попытки заработать одно очко после тачдауна также составляет 0,94, поскольку оно равняется «доходу» (1 очко), умноженному на вероятность успеха (0,94). Никакая команда не может заработать 0,94 очка, но эта величина помогает оценить данный вариант действий после тачдауна в сравнении с альтернативным вариантом (двухочковой конверсией). Математическое ожидание в случает «погони за двумя очками» оказывается гораздо меньшим: 0,74. Да, «доход» выше (2 балла), но вероятность успеха существенно ниже (0,37). Очевидно, если играть осталось совсем немного и для победы команде требуются два очка, то ей не остается ничего другого, как попытать счастья с двухочковой конверсией. Но если цель команды – максимизация количества набранных очков, и она располагает для этого определенным запасом времени, то вариант с зарабатыванием одного очка для нее более приемлем.

Такой же базовый анализ может показать, почему не стоит покупать лотерейные билеты. В Иллинойсе вероятности, связанные с разными возможными выигрышами в лотерее, напечатаны на оборотной стороне каждого билета. Я купил за 1 доллар один билет мгновенной лотереи. (Интересно, облагается ли эта сумма налогом?) На его оборотной стороне напечатаны – микроскопическим шрифтом – шансы выиграть различные денежные призы или получить еще один такой же билет (бесплатно): 1 шанс из 10 (бесплатный лотерейный билет); 1 шанс из 15 (2 доллара); 1 шанс из 42,86 (4 доллара); 1 шанс из 75 (5 долларов) и т. д. вплоть до 1 шанс из 40 000 – 1000 долларов. Я подсчитал ожидаемый доход для моего билета мгновенной лотереи, сложив все возможные варианты выигрыша денежного приза с весовыми коэффициентами, равными вероятности выигрыша каждого из этих денежных призов [25]. Оказалось, что ожидаемый доход для моего однодолларового лотерейного билета – примерно 0,56 доллара [26]. Таким образом, покупка такого билета – абсолютно бездарный способ потратить 1 доллар. Как назло, я выиграл 2 доллара.

Несмотря на мой неожиданный выигрыш, я все равно считаю, что покупка билета мгновенной лотереи – абсолютная глупость. Это один из важнейших уроков теории вероятностей. Хорошие решения – если их оценивать вероятностями, которые за ними кроются, – в действительности могут оказаться не такими уж хорошими. А плохие решения – например, покупка билета мгновенной лотереи в Иллинойсе – не такими уж плохими, по крайней мере на коротком отрезке времени. Но в конечном счете вероятность все равно торжествует. Важная теорема, известная как закон больших чисел, гласит, что по мере возрастания количества испытаний средний результат исходов все сильнее приближается к его математическому ожиданию. Да, я выиграл 2 доллара, купив сегодня билет мгновенной лотереи. И мог бы еще раз выиграть 2 доллара завтра. Но если я куплю тысячи однодолларовых лотерейных билетов, каждый с ожидаемым доходом 0,56 доллара, то я почти наверняка останусь в проигрыше. К тому времени, когда я потрачу на покупку лотерейных билетов один миллион долларов, мой выигрыш составит сумму, очень близкую к 560 000 долларов.

Закон больших чисел объясняет, почему в долгосрочном периоде казино всегда выигрывают. Вероятности, связанные со всеми играми, которые практикуются в казино, благоприятствуют последнему (при условии, что казино способно помешать игрокам в блек-джек вычислять карты). Если в течение довольно продолжительного отрезка времени было сделано достаточное количество ставок, то казино обязательно получит больше, чем потеряет. Закон больших чисел также объясняет, почему вероятность того, что компания Joseph Schlitz Brewing Company добьется нужного ей результата, повышается при выполнении 100 слепых дегустаций, а не десяти. Взгляните на «функции плотности вероятности» для 10, 100 и 1000 слепых дегустаций пива. (Несмотря на свое мудреное название, функция плотности вероятности просто отображает упорядоченные исходы вдоль оси x и ожидаемую вероятность каждого исхода вдоль оси y ; в сумме эти вероятности дают 1.) Как и ранее, я предполагаю, что каждая дегустация эквивалентна подбрасыванию монетки, а каждый дегустатор выбирает пиво Schlitz с вероятностью 0,5. Как видно из приведенных ниже графиков, по мере увеличения количества дегустаторов ожидаемый исход все больше сосредоточивается в области выбора пива Schlitz половиной (50 %) дегустаторов. В то же время вероятность получения исхода, который резко бы отклонялся от 50 %, по мере роста числа испытаний резко падает.