Алексей Лобанов - Энциклопедия финансового риск-менеджмента

В четвертом, исправленном и дополненном издании в главу I включены определения медианы и моды вероятностных распределений, характеристики биномиального распределения, распределения Пуассона, бета- и гамма-распределений, двумерного нормального распределения. Глава также дополнена разделом, посвященным теории экстремальных значений. В главе II приведена краткая характеристика соглашений о форвардной процентной ставке (FRA). В главу VIII включены новые комментарии к методу RAROC и его модификациям, описания актуальных сценариев для проведения стресс-тестирования, а также раздел, посвященный методам контроля за трейдерами и управлению торговыми лимитами. В главе IX полностью переработан и дополнен обзор Нового соглашения по капиталу 2004 г. («Базеля II»), выполненный на основе последней редакции этого соглашения от ноября 2006 г. Кроме того, существенно обновлена библиография глав VIII и IX.

Редакторы и авторы выражают благодарность всем читателям, приславшим свои отзывы и замечания к текстам предыдущих изданий книги.

Научно обоснованное управление финансовыми рисками невозможно без соответствующей методики измерения этих рисков. Существующие методы измерения финансовых рисков в основном опираются на современную теорию финансовых инструментов с фиксированными доходами, теорию вероятностей, математическую статистику и теорию случайных процессов. Именно эти вопросы составляют основное содержание первой главы настоящей книги.

В частности, при изучении финансовых инструментов с фиксированными доходами вводятся многие фундаментальные понятия теории финансов: будущая и приведенная стоимости инвестиций, внутренняя доходность облигаций, временная структура процентных ставок, кривая рыночных доходностей, дюрация и выпуклость портфелей облигаций. Все эти понятия широко используются как при измерении финансовых рисков, так и при построении стратегий хеджирования этих рисков.

После небольшого обзора основных положений теории вероятностей рассматриваются важнейшие статистические методы оценки различных финансовых показателей, используемых в риск-анализе.

В заключительной части главы вводятся основополагающие понятия теории случайных процессов: сечения и траектории, математическое ожидание и дисперсия, процесс случайного блуждания, биномиальная модель, винеровский случайный процесс, стохастические дифференциальные уравнения. Подробно исследуется процесс геометрического броуновского движения, который играет ключевую роль в оценке производных финансовых инструментов.

Предположим, что денежная сумма Р инвестирована на Т лет под годовую процентную ставку r(m) при начислении процентов m раз в год. Тогда будущая стоимость (future value) инвестиции может быть найдена следующим образом:

Если же денежная сумма Р инвестирована под годовую процентную ставку при непрерывном начислении процентов, то будущая стоимость инвестиции определяется равенством:

Пример 1.1.Денежная сумма в 1 млн долл. инвестирована на 6 лет под годовую процентную ставку 6,4 %. Определим будущую стоимость инвестиции, если проценты начисляются: а) один раз в год; б) дважды в год; в) ежеквартально; г) непрерывно:

Очевидно, что будущая стоимость инвестиции возрастает при:

а) увеличении срока;

б) возрастании годовой процентной ставки;

в) росте частоты начисления процентов.

Годовые процентные ставки называют эквивалентными, если при инвестировании любой суммы Р под эти ставки на один и тот же срок совпадают будущие стоимости.

В частности, годовые процентные ставки r(m) и r(n) при начислении процентов m и n раз соответственно оказываются эквивалентными тогда и только тогда, когда

Годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов эквивалентна годовой процентной ставке r(m) при начислении процентов m раз в год тогда и только тогда, когда

Пример 1.2.Банк предлагает по депозитам годовую процентную ставку в 8 % при начислении процентов один раз в год. Какую годовую процентную ставку можно требовать при начислении процентов: а) дважды в год; б) ежеквартально; в) непрерывно?

Предположим теперь, что инвестору обещают через t 1, t 2…., t nлет денежные суммы P t1, P t2…., P tnсоответственно. Если инвестор предполагает инвестировать все поступающие денежные суммы под одну и ту же годовую процентную ставку, то через Т лет будущая стоимость денежного потока будет равна:

Какова будущая стоимость денежного потока через 3 года, если инвестор предполагает инвестировать поступающие денежные суммы под 7 % при начислении процентов: а) дважды в год; б) непрерывно?

Если одну и ту же денежную сумму выплачивают (или получают) периодически в течение ряда лет, то соответствующий денежный поток называют рентой [13] Другое название – аннуитет . (annuity). Промежуток времени между двумя соседними платежами – это рентный период. Ренту называют обыкновенной (ordinary annuity), если первый рентный платеж приходится в точности на конец одного рентного периода.

Рассмотрим обыкновенную ренту размером А сроком на Т лет, рентный период которой составляет года. По данной ренте будут произведены Тт платежей одной и той же величины А, причем i-й платеж (i = 1, 2…., Тт ) должен быть произведен через лет.