Алексей Лобанов - Энциклопедия финансового риск-менеджмента

где Р – рыночная цена финансового инструмента.

Функция стоящая в правой части уравнения (1.14), всегда является убывающей и выпуклой. График функции изображен на рис. 1.1.

Для решения уравнения (1.14) можно использовать метод проб и ошибок. Вначале найдем простым подбором числа α 1и β 1так, чтобы P(α 1) > Р, а P(β 1) < Р (рис. 1.2). Тогда искомая внутренняя доходность будет находиться между α 1и β 1, т. е. у ∈ (α 1, β 1). Промежуток (α 1, β 1) разделим на 10 равных частей. И, вычисляя значение функции Р(у) в точках деления, найдем числа α 2и β 2так, чтобы:

Тогда у ∈ (α 2, β 2). Повторяя данную процедуру несколько раз, можно найти достаточно малый промежуток (α 1, β 1), на котором находится искомая внутренняя доходность. В этом случае искомую внутреннюю доходность можно определить на основе линейной интерполяции:

Определим внутреннюю доходность финансового инструмента при начислении процентов дважды в год, если рыночная цена финансового инструмента равна 7000 долл.

Чтобы определить искомую внутреннюю доходность, достаточно решить уравнение:

Так как

то полагаем α 1= 0,06, β 1= 0,07. Промежуток (α 1, β 1) разделим на 10 равных частей:

Заметим, что P(0,066) = 7000,5057 > 7000; P(0,067) = 6993,3546 < 7000. Значит, можно считать, что α 2= 0,066, а β 2= 0,067.

Используя линейную интерполяцию, получим, что

Так как Р(0,06607) = 7000,005, то искомая внутренняя доходность составляет 6,607 %.

Если по данному финансовому инструменту приходится только один платеж, то его внутренняя доходность при начислении процентов m раз в год может быть найдена по формуле:

где С – размер платежа по финансовому инструменту;

Р – рыночная цена финансового инструмента;

Т – срок платежа по финансовому инструменту.

Купонной облигацией (coupon bond) называют финансовый инструмент, по которому периодически выплачиваются купонные проценты вплоть до погашения и номинальная стоимость в момент его погашения.

Отношение суммы купонных платежей за год к номинальной стоимости облигации называют купонной ставкой облигации (coupon rate).

Если f – купонная ставка облигации, то размер одного купонного платежа может быть найден по формуле:

где q – размер купонного платежа;

А – номинальная стоимость облигации;

m – количество купонных выплат за год.

Пример 1.10.Дана 9 %-ная купонная облигация с полугодовыми купонами и номинальной стоимостью 1000 долл. Определим поток платежей по облигации, когда до ее погашения остается 2,25 года.

В данном случае f = 0,09, А = 1000 долл., m = 2. Значит,

и поток платежей по облигации имеет вид:

Цена купонной облигации должна совпадать с приведенной стоимостью потока платежей, обещаемых по этой облигации. Чтобы определить приведенную стоимость потока платежей, необходимо знать ставку дисконтирования, которая в данном случае является требуемой доходностью (required yield).

Требуемая доходность для данной купонной облигации устанавливается на основе исследования внутренних доходностей финансовых инструментов, сравнимых с данной купонной облигацией. При этом учитываются такие факторы, как кредитный рейтинг эмитентов, ликвидность финансовых инструментов и т. д.

Котируемая цена(clean price) купонных облигаций определяется в моменты времени, когда происходят выплаты очередных купонных платежей. Котируемая цена купонной облигации с полугодовыми купонами может быть найдена по формуле:

где P – котируемая цена облигаций;

– размер одного купонного платежа;

r – требуемая доходность;

А – номинальная стоимость облигации;

n – количество купонных платежей, остающихся до погашения облигации.

Пример 1.11.Найдем цену 9 %-ной купонной облигации, номинальной стоимостью 1000 долл., когда до ее погашения остается 20 лет, а требуемая доходность составляет 8 %.

В данном случае A = 1000 долл., f = 0,09, = 45 долл., n = 40, r = 0,08.

Котируемую цену облигации можно найти по формуле (1.18):

Говорят, что купонная облигация продается по номиналу (par value), если ее котируемая цена совпадает с номинальной стоимостью. Купонная облигация продается по номиналу тогда и только тогда, когда купонная ставка облигации равна требуемой доходности.

Облигация продается с премией (at a premium), если ее котируемая цена выше номинальной стоимости. Купонная облигация продается с премией тогда и только тогда, когда купонная ставка выше требуемой доходности. Размер премии для облигаций с полугодовыми купонами составляет: