Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

1 17 +

2 34 +

4 68

8 136

16 272 +

и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком то-есть 17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 х 17) + (16 х 17) = 19 х 17. Легко видеть, что подобный прием по существу весьма близок к нашему крестьянскому (замена умножения рядом последовательных удвоений).

Трудно сказать, у одних ли наших крестьян был в ходу такой древний способ умножения; английские авторы называют его именно "русским крестьянским способом"; в Германии крестьяне кое-где хотя и пользуются им, но также называют его "русским".

Чрезвычайно интересно было бы получить от читателей сведения о том, применяется ли сейчас где-нибудь этот древний способ умножения, имеющий за собой такое долгое и оригинальное прошлое. Следовало бы вообще с большим вниманием относиться к народной математике: вникать в употребляемые народом приемы счета и измерений, собирать и записывать эти памятники народного математического творчества, дошедшие до нашего времени из глубин седой старины.

На это давно указывал историк математики В. В. Бобынин [18] Бобынин В. В. (1849–1919) — первый историк математики в России. , предложивший даже краткую программу собирания памятников народной математики. Не лишним будет, пожалуй, привести здесь составленный им перечень того, что именно следует собирать и записывать:

1) счисление и счет, 2) приемы меры и веса, 3) геометрические сведения и их выражение в постройках, нарядах и украшениях, 4) способы межевания, 5) народные задачи, 6) пословицы, загадки и вообще произведения народной словесности, имеющие отношение к математическим знаниям, 7) памятники древней народной математики, находящиеся в рукописях, музеях, коллекциях и т. д. или находимые при раскопках курганов, могил, городищ и проч.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КУРЬЕЗЫ

91 + (5823/647) = 100;

94 + (1578/263) = 100;

96 + (1428/357) = 100

Эту главу позволю себе начать с задачи, которую я придумал когда-то для читателей старого распространенного журнала [19] «Природа и люди» (потом она была перепечатана в сборнике Е . И. Игнатьева "В царстве смекалки"). в качестве "задачи на премию".

Вот она:

"Загадочная автобиография

В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками:

"Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 11 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 руб., из которых 1/ 10приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц" и т. д.

Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?"

Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления — вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: "спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком…" Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 — наибольшая в этой системе (как 9 — в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятеричной системе счисления , то-есть по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором — не десятки, а пятерки; на третьем — не сотни, а "двадцатипятерки" и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки "44", означает не 4 х 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 х 5 + 4, то-есть 24.

Точно так же число "100" в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятеричной системе, то-есть 25. Остальные числа записки соответственно означают:

Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет:

Я окончил курс университета 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 6 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал в месяц 50 руб., из которых 1/ 5приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 руб. в месяц.

Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятеричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:

119:5 = 23, остаток 4.

Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятеричной системе — 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:

23:5 = 4, остаток 3.

Это показывает, что во втором разряде (пятерок) будет цифра 3, а в третьем ("двадцатипятерок") — 4.

Итак, 119 = 4 х 25 + 3 х 5 + 4, или в пятеричной системе "434".

Сделанные действия для удобства располагают так:

Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.

Приведем еще примеры.

Числовая система ацтеков Мексики была двадцатеричной. Количества до 20 они изображали числом точек или пальцев; для 20 рисовался флаг; число 400 (20 х 20) имело значок, похожий на ель, который значил — "многочисленный, как волосы". Для самой большой единицы счета — 8000 (20 х 20 х 20) — изображался мешок: он символизировал огромное количество бобов какао в мешке. Чтобы изобразить некоторое количество предметов, ацтеки прямо пририсовывали к изображению этого предмета нужные числовые значки: таким образом, А означает 9 масок из драгоценного камня; Б — 100 мешков какао; В — 402 бумажных одеяла указанного рисунка; Г — 8000 связок листьев копаловой камеди.

Пример 1.

Изобразить 47 в троичной системе:

Решение:

Ответ: "1202". Проверка: 1 х 27 + 2 х 9 + 0 х 3 + 2 = 47.

Пример 2.

Число 200 изобразить в семеричной системе.

Решение:

Ответ: "404". Проверка: 4 х 49 + 0 х 7 + 4 = 200.

Пример 3.

Число 163 изобразить в двенадцатеричной системе.

Решение:

Ответ: "117". Проверка: 1 х 144 + 1 х 12 + 7 = 163

Теперь читатель не затруднится изобразить любое число в какой угодно системе счисления. Единственная помеха может возникнуть лишь вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать обозначений для цифр . В самом деле: при изображении числа в системах с основанием более десяти (например, двенадцатеричной), может явиться надобность в цифрах " десять " и " одиннадцать ". Из этого затруднения нетрудно выйти, избрав для новых цифр какие-нибудь условные знаки или буквы — хотя бы, например, буквы К и Л.