Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Во втором опыте задуманное двузначное число мы писали дважды кряду — например, задумав 29, писали 2929. Это все равно, что умножить задуманное число на 101 (в самом деле, 29 х 101 =2929). Раз я это знаю, я могу с уверенностью предвидеть, что от деления такого четырехзначного числа на задуманное число получится 101 и что, следовательно, сумма цифр частного (1 + 0 + 1) равна 2.

Как видите, отгадывание основано на свойствах чисел 111 и 101; мы вправе поместить оба эти числа в нашу арифметическую кунсткамеру.

Одним из приемов ускоренного умножения является прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов: он восходит к грекам и индусам и в старину назывался "способом молнии" или "умножением крестиком

Пусть требуется перемножить 24 х 32. Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:

2 4

|х|

3 2

Теперь последовательно производим следующие действия:

1) 4 х 2 = 8 — это последняя цифра результата;

2) 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16; 6 — предпоследняя цифра результата; единицу запоминаем;

3) 2 х 3 = 6 да еще удержанная в уме единица, имеем 7 — это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 — 768.

После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко.

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых "дополнений", удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.

Предположим, что требуется перемножить 92 х 96. "Дополнение" для 92 до 100 будет 8, для 96 — 4. Действие производят по следующей схеме:

множители: 92 и 96,

дополнения: 8 и 4.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя "дополнения" множимого или наоборот: то-есть из 92 вычитают 4 или из 96 — 8. В том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение "дополнений": 8 х 4 = 32. Получаем результат 8832.

Что полученный результат должен быть верен, наглядно видно из следующих преобразований:

Еще пример — требуется перемножить 78 на 77:

множители: 78 и 77,

дополнения: 22 и 23.

78 — 23 = 55,

22 х 23 = 506,

5500 + 506 = 6006.

Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий — приемов, предназначаемых для обиходных вычислений. Составилась бы целая книга, если задаться целью описать хотя бы только главнейшие из них. Ограничусь поэтому лишь несколькими примерами из числа наиболее удобоприменимых.

В практике технических и торговых вычислений нередки случаи, когда приходится складывать столбцы чисел, близких друг к другу по величине. Например:

Точно так же находим сумму:

Сходным образом поступают, когда находят арифметическое среднее чисел, близких между собой по величине. Найдем, например, среднюю из следующих цен:

Отсюда искомая средняя цена

4 р. 70 к. + 1,5 к. = 4 р. 71, 5 к.

Перейдем к умножению . Здесь прежде всего укажем, что умножение на числа 5, 25 и 125 значительно ускоряется, если иметь в виду следующее:

5 = 10/2; 25 = 100/4; 125 = 1000/8

Поэтому, например,

36 х 5 = 360/2 = 180; 87 х 5 = 870/5 = 435;

36 х 25 = 3600/4 = 900; 87 х 25 = 8700/4 = 2175;

36 х 125 = 36000/8 = 4500; 87 х 125 = 87000/8 = 10 875.

При умножении на 15 можно пользоваться тем, что

15 = 10 x 1 1/ 2

Поэтому легко производить в уме вычисления вроде таких:

36 х 15 = 360 х 1 1/ 2= 360 + 180 = 540,

или проще:

36 х 1 1/ 2х 10 = 540;

87 х 15 = 870 + 435 = 1305.

При умножении на 11 нет надобности писать пять строк:

Достаточно лишь под умноженным числом подписать его еще раз, отодвинув на одну цифру:

и произвести сложение.

Полезно запомнить результаты умножения первых девяти чисел на 12, 13, 14 и 15. Тогда умножение многозначных чисел на такие множители значительно ускоряется. Пусть требуется умножить

Поступаем так. Каждую цифру множимого умножаем в уме сразу на 13:

7 х 13 = 91; 1 пишем, 9 запоминаем;

8 х 13 = 104; 104 + 9 = 113; 3 пишем, 11 запоминаем;

5 х 13 = 65; 65 + 11 = 76; 6 пишем, 7 запоминаем;

4 х 13 = 52; 52 + 7 = 59.

______________

Итого — 59 631.

После нескольких упражнений прием этот легко усваивается.

Весьма удобный прием существует для умножения двузначных чисел на 11: надо раздвинуть цифры множимого и вписать между ними их сумму:

43 х 11 = 473.

Если же сумма цифр двузначная, то число ее десятков прибавляют к первой цифре множимого:

48 х 11 = 4(12)8, то-есть 528.

Укажем, наконец, кое-какие приемы ускоренного деления .

При делении на 5 умножают делимое и делитель на 2:

3471:5 = 6942:10 = 694,2.

При делении на 25 умножают оба числа на 4:

3471:25 = 13 884:100 = 138,84.

Сходным образом поступают при делении на 1 1/ 2(= 1,5) и на 2 1/ 2(= 2,5):

3471:1 1/ 2= 6942:3 = 2314,

3471:2,5 = 13 884: 10=1388,4.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КУРЬЕЗЫ

Умножение = сложению.

2 х 2 = 2 + 2

3 х 1 1/ 2= 3 + 1 1/ 2

11 х 1,1 = 11 + 1,1

21 х 1 1/ 20= 21 + 1 1/ 2

Высочайшая пирамида древнего Египта — Хеопсова, уже пять тысячелетий обвеваемая знойным воздухом пустыни, представляет без сомнения самую удивительную постройку, сохранившуюся от древнего мира. Высотой почти в 150 м, она покрывает своим основанием площадь в 40 000 кв. м и сложена из 200 рядов исполинских камней. 10 000 рабов в течение 30 лет трудились над возведением этого сооружения, сначала подготовляя 10 лет дорогу для перевозки камней от каменоломни до места постройки, а затем громоздя их 20 лет друг на друга с помощью несовершенных машин того времени.

Было бы странно, чтобы такое огромное сооружение воздвигнуто было с единственной целью — служить гробницей для правителя страны. Поэтому некоторые исследователи стали доискиваться: не раскроется ли тайна пирамиды из соотношения ее размеров?

Перевозка камня на стройку пирамиды. Сзади рабочих идет надсмотрщик с хлыстом; поскольку он важнее всех остальных работников, он изображается более крупно (древнеегипетский рисунок).

Им посчастливилось, по их мнению, найти ряд удивительных соотношений, свидетельствующих о том, что жрецы, руководители работ по постройке, обладали глубокими познаниями по математике и астрономии и эти познания воплотили в каменных формах пирамиды.

"Геродот [34] Геродот — знаменитый греческий историк; посетил Египет за 300 лет до нашей эры. рассказывает, — читаем мы в книге французского астронома Море ("Загадки науки", 1926, т. 1), — что египетские жрецы открыли ему следующее соотношение между стороной основания пирамиды и ее высотой: квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это вполне подтверждается новейшими измерениями. Вот доказательство, что во все времена пирамида Хеопса рассматривалась как памятник, пропорции которого рассчитаны математически.