Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Если, например, вы написали в первый раз 83 267, то отгадчик пишет будущую сумму 183 266. Затем вы пишете, допустим, 27 935, а отгадчик приписывает третье слагаемое 72 064:

I… Вы: 83 267,

III… Вы: 27 935

IV… Отгадчик: 72 064

_________________

II… Сумма 183266

Получается в точности предсказанная сумма, хотя отгадчик не мог знать, каково будет второе слагаемое. Отгадчик может предсказать также сумму пяти или семи слагаемых, но тогда он сам пишет два или три из них. Никакой подмены бумажки с результатом здесь заподозрить вы не можете, так как она до последнего момента хранится в вашем собственном кармане. Очевидно, отгадчик пользуется каким-то неизвестным вам свойством чисел. Каким?

Он пользуется тем, что от прибавления, скажем, к пятизначному числу числа из 5 девяток (99 999) это число увеличивается на 100 000 — 1, то-есть впереди него появляется единица, а последняя цифра уменьшается на единицу. Например:

83 267 + 99 999 = 183 266

Эту сумму, то-есть сумму написанного вами числа и 99 999, отгадчик и пишет на бумажке как будущий результат сложения. А чтобы результат оправдался, он, увидев ваше второе слагаемое, выбирает свое, третье слагаемое так, чтобы вместе со вторым оно составило 99 999, то-есть вычитает каждую цифру второго слагаемого из 9. Эти операции вы легко можете теперь проследить на предыдущем примере, а также и на следующих

I… Вы: 379 264

III… Вы: 4 873

IV… Отгадчик: 995 126

__________________

II… Сумма 1 379 263

I… Вы: 9 035

III… Вы: 5 669

IV… Отгадчик: 4 330

__________________

II… Сумма 19 034

Легко усмотреть, что вы сильно затрудните отгадчика, если второе ваше слагаемое будет заключать больше цифр, чем первое: отгадчик не сможет написать слагаемое, которое уменьшит второе число для оправдания предсказанного слишком малого результата. Поэтому опытный отгадчик предусмотрительно ограничивает свободу выбора этим условием.

Фокус выходит внушительнее, когда в придумывании слагаемых участвуют несколько лиц. После первого же слагаемого — например, 437 692 — отгадчик уже предсказывает сумму всех пяти чисел, именно записывает 2 437 690 (здесь будет добавлено дважды 999 999, то-есть 2 000 000 — 2). Дальнейшее ясно из схемы:

I… Вы написали: 437 692

III… Другой написал: 822 541

V… Третий написал: 263 009

IV… Отгадчик добавил: 177 458

VI… -""- 736 990

_________________________

II… Отгадчик предсказал: 2 437 690

Еще пример:

I… Вы написали: 7 400

III… Другой написал: 4 732

V… Третий написал: 9 000

IV… Отгадчик добавил: 5 267

VI… -""- 999

__________________________

II… Отгадчик предсказал: 27 398

Читателям небезинтересно будет теперь познакомиться с тем, как описан тот же фокус советским писателем Шишковым в его романе "Странники":

"Иван Петрович вырвал из блокнота страничку, подал мальчонке, спросил:

— Карандаш есть?.. Пиши любое число.

Мальчонка написал. Иван Петрович мельком взглянул на это число, написал на отдельном клочке бумаги свое какое-то число, сунул бумажку в солому и прикрыл шляпой.

— Пиши под ним другое. Написал?.. Теперь я сам напишу третье. Теперь все три числа складывай. Только тщательней, не ври.

Через две минуты был готов проверенный ответ. Инженер Вошкин (прозвище мальчика. — Я П .) подал свои выкладки:

46 853 + 21 398 + 78 601 = 146 852

— Сто сорок шесть тысяч восемьсот пятьдесят два, Иван Петрович.

— Долго считаешь. А у меня — вот он ответ. Я уже знал его, когда ты еще первое число написал. Вот. Тяни из-под шляпы.

Мальчонка выхватил бумажку. Там значилось:"146852".

В романе фокус оставляется неразъясненным. Но вам, конечно, вполне понятна его несложная арифметическая основа.

В 1916 году, в разгар империалистической войны, некоторые газеты нейтральной Швейцарии занимались арифметическим "гаданием" о… грядущей судьбе императоров Германии и Австрии. "Пророки" складывали следующие столбцы чисел:

Для Вильгельма II:

Год рождения… 1859

Год вступления на престол… 1888

Число лет царствования… 28

Возраст… 57

____________

Сумма 3832

Для Франца-Иосифа

Год рождения… 1830

Год вступления на престол… 1848

Число лет царствования… 68

Возраст… 86

____________

Сумма 3832

В совпадении сумм "пророки" видели мрачное предзнаменование для коронованных особ, и так как каждый итог представлял собой удвоенный 1916 год, то обоим императорам предрекали гибель именно в этом году.

Между тем совпадение результатов с математической стороны не является неожиданным. Стоит немного изменить порядок слагаемых — и станет понятно, почему они дают в итоге удвоенный 1916 год. В самом деле, разместим слагаемые так:

год рождения,

возраст,

год вступления на престол,

число лет царствования.

Что должно получиться, если к году рождения прибавить возраст? Разумеется, дата того года, когда производится вычисление. Точно так же, если к году вступления на престол прибавить число лет царствования, получится опять год, когда производится расчет. Ясно, что итог сложения четырех наших слагаемых может быть не чем иным, как удвоенным годом выполнения расчета. Очевидно, судьба императоров абсолютно не зависит от подобной арифметики…

Так как о сказанном выше не все догадываются, то можно воспользоваться этим для забавного арифметического фокуса. Предложите кому-нибудь написать тайно от вас четыре числа:

год рождения,

год поступления в школу (на завод и т. п.),

возраст,

число лет обучения в школе (работы на заводе и т. п.).

Вы беретесь отгадать сумму этих чисел, хотя ни одно из них вам неизвестно. Для этого вы удваиваете год выполнения фокуса и объявляете итог. (Если, например, фокус показывается в 1954 году, то сумма — 3908.)

Чтобы иметь возможность, не обнаруживая секрета, с успехом проделывать этот фокус несколько раз подряд, вы заставляете слушателя проводить над суммой какие-нибудь арифметические действия, маскируя этим свой прием.

Из многочисленных разновидностей фокусов этого рода опишем один, основанный на знакомом уже нам свойстве множителя, состоящего из ряда одних девяток; когда умножают на него число со столькими же цифрами, получается результат, состоящий из двух половин: первая — это умножаемое число, уменьшенное на единицу; вторая — результат вычитания первой половины из множителя. Например: 247 х 999 = 246 753; 1372 х 9999 = 13 718 628 и т. д. Причину легко усмотреть из следующей строки:

247 х 999 = 247 х (1000 — 1) = 247 000–247 = 246 999–246.

Пользуясь этим, вы предлагаете группе товарищей произвести деление многозначных чисел: одному — 68 933 106: 6894, другому — 8 765 112 348: 9999, третьему — 543 456: 544, четвертому — 12 948 705: 1295 и т. д., а сами беретесь обогнать их всех, выполняя те же задачи. И прежде чем они успеют приняться за дело, вы уже вручаете каждому бумажку с полученным вами безошибочным результатом деления: первому — 9999, второму — 87 652, третьему — 999, четвертому — 9999.